三角形外接圆半径的求法及应用 方法一:R=ab/(2h) 三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商。 AD 是△ABC 的高,AE 是△ABC 的外接圆直径.求证 AB·AC=AE·AD. 证:连接AO 并延长交圆于点E,连接BE, 则∠ABE=90°. ∠E=∠C, ∠ABE=∠ADC=90°, ∴Rt△ABE∽Rt△ADC, ∴ACAEADAB , ∴ AB·AC=AE·AD 方法二:2R=a/Sin A,a 为∠A 的对边 在锐角△ABC 中,外接圆半径为 R。求证: 2R=AB/SinC 证:连接AO 并延长交圆于点E,连接BE, 则∠ABE=90°. ∴AE=AB/SinE ∠C=∠E,SinC =SinE ∴AE=AB/SinC ∴2R=AB/SinC 若 C 为钝角,则SinC=Sin(180o-C) 应用一、已知三角形的三边长,求它的外接圆的半径。 例 1 已知:如图,在△ABC 中,AC=13,BC=14,AB=15,求△ABC 外接圆⊙O 的半径r. 分析:作出直径AD,构造 Rt△ABD.只要求出△ABC 中 BC 边上的高AE,用方法一就可以求出直径AD. 解:作 AE⊥BC,垂足为 E. 设 CE=x, AC2-CE2=AE2=AB2-BE2 ,∴132-x2=152-(14-x)2 ∴x=5,即 CE=5,∴AE=12 R=ab/(2h)=13x15/(2x12)=65/8 ABCODE∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为865 . 例2 已知:在△ABC 中,AB=13,BC=12,AC=5,求△ABC 的外接圆的半径R. 分析:通过判定三角形为直角三角形,易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边。 应用二、已知三角形的二边长及其夹角(特殊角),求外接圆的半径。 例3 已知:如图,在△ABC 中,AC=2,BC=3,∠C=60°,求△ABC 外接圆⊙O 的半径R. 分析:考虑求出角的对边长AB,然后用方法一或方法二解题. 解:作直径AD,连结 BD.作 AE⊥BC,垂足为E. 则∠DBA=90°,∠D=∠C=60°, ∠CAE=∠DAB= 90°- 60°=30° CE=21 AC=1,AE=3 ,AB=√7∴R=AC·AB/2AE=2x√7/(2x3 ) 应用三、已知三角形的一边长二角度或对角的度数(特殊角),求它的外接圆的半径。 用方法二 例4 已知AD=5,AC=7,CD=3,AB=10√3,求它的外接圆的半径 解 从 A 作 AM⊥BC 于M,则 AD2-MD2=A M2 =AC2-(MD+CD)2.即 52-MD2=72-(MD+3)2. 得R=14, 则△ABC 外接圆面积 S=πR2=196π. 例5 如图3,已知抛物线 y=x2-4x+h 的顶点 A 在直线 y=-4x-1 上, 求①抛物线的顶点坐标; ②抛物线与 x 轴的交点 B、C 的坐标; ③△ABC 的外接圆的面积. 解...