上海交大高等代数+数学分析历届考研真题.

上海交通大学 1999 年硕士研究生入学考试试题 试卷名称：高等代数 1．（10 分）设P 为数域。     xPxgxf,令        xgxxxfxXF1122；     xgxxxfxG1。证明：若  xf与  xg互素，则  xF与  xG也必互素。 2．（10 分）设J 为元素全为1 的阶方阵。 （1） 求 J 的特征多项式与最小多项式； （2） 设 xf为复数域上多项式。证明  Jf必相似于对角阵。 3．（10 分） （1） 设n阶实对称矩阵 ijxA ，其中1jiijaax且0...21naaa，求A 的 n个特征值。 （2） 设A 为复数域上n阶方阵。若 A 的特征根全为零，证明：1 EA。此处E 为n阶单位阵。 4（10 分）设 xf是数域F 上的二次多项式，在 F 内有互异的根21, xx，设A 是 F 上线性空间 L 的一个线性变换且IxA1，IxA2（I 为单位变换）且满足  0Af，证明21, xx为A 的特征值；且 L 可以分解为A 的属于21, xx的特征子空间的直和。 5（10 分）用正交线性变换将下列二次型化为标准形，并给出所施行的正交变换： 32312123222184422xxxxxxxxx 6（10 分）对的不同取值，讨论下面方程组的可解性并求解： 7（10 分）假设A 为nm 实矩阵，B 为1n实矩阵，TA 表示 A 的转置矩阵。证明： （1） AB=0 的充要条件是0ABAT； （2） 矩阵AAT与矩阵 A 有相同的秩。 8（10 分）设pAAA,...,,21均为n阶矩阵且0...21pAAA。证明这 p个矩阵的秩之和小于等于np1，并举例说明等式可以达到。 9（10 分）证明任一可逆实矩阵可分解为一个正定阵和一个正交阵之积。 10（10 分）设W 为欧氏空间 V 的一个子空间。WaVb,证明若对任意Wa ，abab则 Wab 上海交通大学 2003 年硕士研究生入学考试试题 试卷名称：高等代数 1（15 分）设121012001A，求100A. 2（15 分）以22P表示数域P 上的2 阶矩阵的集合。假设4321,,,aaaa为两两互异的数而且他们的和不等于零。试证明4121111aaaA,4222221aaaA,4323331aaaA,4424441aaaA是 P 上线性空间的一组基。 3（15 分）证明：阶实对称矩阵A 的秩为 r,nr ，当且仅当 A 可以写成TCbCA ，其中 B ...