a=x0 x1 x2 xi-1 xi xn-1 xn =b i O n 1 2 y=f(x) x y 第一讲 定积分的概念 教学目的：掌握定积分的有关概念和基本性质 难 点：无限细分和累积的思维方法 重 点：微元法思想和定积分的基本性质 教学内容： 定积分是微积分学的重要内容之一，它和上一章讨论的不定积分有着密切的内在联系，并且，定积分的计算主要是通过不定积分来解决的. 定积分在各种实际问题中有着广泛的应用．在本章中，我们将在具体实例的基础上引入定积分的概念，然后讨论它的性质、计算方法与应用． 一、问题的提出 1 、曲边梯形的面积 在初等数学中，我们学习了一些简单的平面封闭图形(如三角形、圆等)的面积的计算. 但实际问题中出现的图形常具有不规则的“曲边”，我们怎样来计算它们的面积呢？下面以曲边梯形为例来讨论这个问题. 设函数 )(xfy 在],[ ba上连续. 由曲线 )(xfy 与直线ax 、bx 、x轴所围成的图形称为曲边梯形(如图). 为讨论方便，假定0)(xf. 由于函数 )(xfy 上的点的纵坐标不断变化，整个曲边梯形各处的高不相等，差异很大. 为使高的变化较小，先 将区 间],[ ba分成n 个小区 间 ，即 插 入分点. bxxxxan 210 在每 个分点处作 与y 轴平行 的直线段 ，将整个曲边梯形分成n 个小曲边梯形，其 中第i 个小区 间 的长 度 为ixnixxii,,2,1,1. 由于)(xf连续，故 当ix很小时 ，第i 个小曲边梯形各点的高变化很小. 在区间],[1iixx上任取一点i ，则可认为第i 个小曲边梯形的平均高度为)(if ，因此, 这个小曲边梯形的面积 iiixfA)(. 用这样的方法求出每个小曲边梯形面积的近似值, 再求和, 即得整个大曲边梯形面积的近似值 niiiniixfAA11)(. 可以看出：对区间],[ba所作的分划越细，上式右端的和式就越接近A . 记}{max1inix，则当0时，误差也趋于零. 因此，所求面积 niiixfA10)(lim. (1) 2、变速直线运动的路程 设物体作直线运动，速度)(tv是时间t 的连续函数，且0)(tv. 求物体在时间间隔],[ba内所经过的路程s . 由于速度)(tv随时间的变化而变化，因此不能用匀速直线运动的公式 时间路程＝速度 来计算物体作变速运动的路程. 但由于)(tv连续，当t 的变化很小时，速度的变化也非常小，因此在很小的一段时间内，变速运动可以近似看成等速运动...
