不等式的八种证明方法及一题多证

不等式的证明： 一、比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法，它常用的证明方法有两种： 1．作差比较法 方法：欲证A>B,只需要证A-B>0 步骤：“作差----变形----判断符号”。 使用此法作差后主要变形形式的处理： ○将差变形为常数或一个常数与几个平方和的形式常用配方法或实数特征 a2≥0 判断差的符号。 ○将差变形为几个因式的积的形式，常用因式分解法。 ○若变形后得到二次三项式，常用判别式定符号。 总之，变形的目的是有利于判断式子的符号，而变形方法不限定，也就是说，关键是变形的目标。 2．作商比较法 方法：要证A>B,常分以下三种情况： 若 B>0，只需证明1AB  ； 若 B=0，只需证明A>0； 若 B<0，只需证明1AB  。 （3）步骤：“作商-----变形-----判断商数与 1 的大小” 例：已知 a, b, m 都是正数，并且 a < b，求证：bambma 解析：用作差比较法 )()()()()(mbbabmmbbmbamabbambma a,b,m 都是正数，并且a 0 , b  a > 0 ∴0)()(mbbabm 即：bambma 例：已知 a>b>0,求证：  2a baba bab 解析：用作商比较法 222222a ba ba ba ba bababa ba baababbab  又 a>b>0,221,012a ba babaababba bab  例：已知 0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较|)1(log| |)1(log|xxaa和的大小。 解析：法1 ：用作差比较法 )1(log)1(log)1(log)1(log|)1(log| |)1(log|22xxxxxxaaaaaa xxxaa11l o g)1(l o g2 0 < 1  x2 < 1, 1110xx ∴011log)1(log2xxxaa ∴|)1(log| |)1(log|xxaa 法2 ：用作商比较法 2111111log11log)1(log)1(log)1(log)1(logxxxxxxxxxxxaa )1(l o g121xx 0 < 1  x2 < 1, 1 + x > 1, ∴0)1(log21xx ∴1)1(log121xx ∴|)1(log| |)1(log|xxaa 二、综合法：用综合法证明不等式，就是利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“可知”，逐步推出“结论”综合法属...