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第 五章 常微分方程 142 / 16 第五章 常微分方程（简记ODE） 本章主要知识点  可分离变量的ODE  一阶线性非齐次常微分方程及推广  二阶常系数线性齐次与非齐次常微分方程  一些特殊类方程 一、可分离变量的 ODE 1．基本型的解法 基本型：( )( )dyG x H ydx  基本解法： ( )( )dyG x dxH y  ( )( )dyG x dxH y  例 5.1．1)0(,yedxdyyx 解：dxedyexy dxedyexy 通解为：ceexy 将1,0yx得： 1 ec 得 1eeexy 例 5.2． (1)lny yyxdx 解： (1)lny dyxdxy 1(1)lndyxdxy ， 得： ln | |lnyyxxxC 例 5.3．dxyxdyyx)1()1(122 第 五章 常微分方程 143 / 16 解：dxxxydyy2211)1(，22(1)11y dyxdxyx 得：221arctanln 112yyxC  例5.4．已知( )f x满足0( )(1) ( )1x f t dtxf x，求( )f x。 解：由0( )(1) ( )1x f t dtxf x知(0)1f  。方程两边对 x 求导得 ( )( )(1)( )0f xf xxfx，分离变量求得2( )(1)cf xx， 将(0)1f  代入得1c   ，21( )(1)f xx 。 2 ．可转化的可分离变量的齐次方程 ( )xyf y  方法：令( )ypyp x xypxpx xdxppfdppfdxdpxp)()(。 例5.5．yxyxdxdy 解：xyxydxdy11 令ppdxdpxpx ppypxyxyp11'', ppppppdxdpx121112 xdxppdpp221)1( xdxpdpp 2)1(2)1( Cxppln21ln212， 将xyp 代入即可。 例5.6．dxyxdyx)(222 第 五章 常微分方程 144 / 16 解： 2)(1xydxdy， 令,ypypx ypxpx 21dppxpdx ppdxdpx21  xdxppdp21 221()213()()22d pdxxp 1222arctanln33pxC  即，221arctanln33pxC ，将xyp 代入即可。 二、一阶线性齐次方程（ODE） 1 ．基本型( )( )yp x yq x 公式 公式：( )( )(( ))p x dxp x dxyq x eC e 注：应用此公式要注意：不定积分不带 C；基本型又称标准型。 例 5.7．32xyyx  解：22yyxx，其中22( ), ( )p xq...