专题：对数单身狗,指数找基友

专题3 对数单身狗， 指 数找 基 友第一讲 对数单身狗，指数找基友原理设)(xf为可导函数，则有1(()ln)()ln()fxxfxx fx x ，若)(xf为非常数函数，求导式子中含有xln，这类问题需要多次求导．处理这类函数的秒杀技巧是将xln前面部分提出，就留下 lnx这个单身狗，然后研究剩余部分，这类方法技巧叫对数单身狗．设)(xf为可导函数，则有 (())()xxefxefx-=-，若)(xf为非常数函数，求导式子中还是含有xe，针对此类型，可以采用作商的方法，构造()()()[]xxfxf xfxee¢ -¢=，从而达到简化证明和求最值的目的，xe总在找属于它的基友，此类方法技巧俗称指数找基友．【例 1】已知()lnfxx x=，若22()(0)fxaxaa³+¹在(0)x，Î+¥ 上恒成立，求 a的最小值．【思路分析】令aaxxxxF2ln)(2，() ln 1 2 .F xxax  ，如此研究)(xF最小值有点复杂，为了避免求导后出现lnx可以先“清除”lnx前面的因式，实现“对数单身狗”．【解析】设)2(ln2ln)(2axaxxxaaxxxxF，)0(2ln)(aaxaxxxg，题目等价于0)( xg恒成立，即min()0gx ，2212()()()a xxaag xax ，①0a时，02)1(aag，不合题意；②0a时，)(xg在1(0 )a，单调递减，在1()a ，单调递增.0)1()(minagxg，即30ea ．【例 2】判断ln()1xfxxx=- + 零点个数．【解析】因为xxxxxf2ln)(，令xxxxg2ln)(，则xxxxxxxxxg)1)(12(12121)('2，所以)(xg在 (01)， 单调递增，在 (1)，单调递减.因为0)1( g，所以)(xg在)1(，仅有一个零点．【例 3】求证：（1）（2018•新课标 II卷）2 1xex³+ （0x³ ）；（2）xeex³；（3）2( 1)xeex x³+ -（0x³ ）（1）【证明】指数函数中典型的“指数找基友”模型，（1）要证2 1xex³+ ，只需证2 1 1xxe+ £ ，令2 1()xxfxe+=，2221( 1)()0xxx xxf xee---¢ ==-£ ，故()fx单调递减，由于(0)1f= ，故2 1 1xxe+ £ ，即证；（2）令()xexfxe=，(1 )()xexf xe-¢ =，当1x>时， () 0f x¢ <；当1x<时， () 0f x¢ >，max()(1)1fxf== ，故1xexe £ ，xeex³即证．【注意】 y ex=即为xy e=在点 (1)e， 处的切线，属于1xex³ + 的代换模型题，将1x- 替代原来的 x即可；关于此类替换，还有224xeex³（用 2x替换 x），两函数在点2(2 )e，处相切；3327xeex³（用 3x替换 x），...