传染病传播的数学模型 由于人体的疾病难以控制和变化莫测，医学中的数学模型也是较为复杂的。在研究传染病传播问题时，人们发现传染病传播所涉及的因素很多，例如，传染病人的多少，易受感染者的多少，免疫者(或感染后痊愈者)的多少等。在将某一地区，某种传染病的统计数据进行处理和分析后，人们发现了以下的规律性： 设Sk表示在开始观察传染病之后第k天易受感染者的人数，Hk表示在开始观察后第k天传染病人的人数，Ik表示在开始观察后第k天免疫者(或感染后痊愈者)的人数，那么 Sk+1=Sk-0.01Sk (1) Hk+1=Hk-0.2Hk＋0.01Sk (2) Ik+1=Ik+0.2Hk (3) 其中(1)式表示从第k天到第k＋1天有1％的易受感染者得病而离开了易受感染者的人群；(2)式表示在第k+1天的传染病人的人数是第k天的传染病人的人数减去痊愈的人数0.2Hk(假设该病的患病期为5 (3)式表示在第k＋1天免疫者的人数是第k天免疫者的人数加上第k天后病人痊愈的人数。 将(1)，(2)和(3)式化简得 如果已知S0，H0，I0的值，利用上式可以求得S1，H1，I1的值，将这组值再代入上式，又可求得S2，H2，I2的值，这样做下去，我们可以逐个地，递推地求出各组Sk，Hk，Ik的值。因此，我们把Sk+1，Hk＋1，Ik+1和Sk，Hk，Ik之间的关系式叫做递推关系式。 现在假设开始观察时易受感染者，传染病人和免疫者的人数分别为 将上述数据(5)代入(4)式右边得 利用递推关系式(4)反复计算得表30-1。 在建立上述数学模型的过程中，如果还要考虑该地区人员的迁入和迁出，人口的出生和死亡所引起的总人数的变化等因素，那么传染病传播的数学模型变得非常复杂。所以必须舍去次要因素，抓住主要因素，把问题简化，建立相应的数学模型。如果将由该数学模型计算的结果与实际比较后，与传染病传播的情况大致吻合，那么我们就可以利用该模型对得病人数进行预测和估计。 例如，可以预测若干天后传染病人的人数等等，便于有关的医疗卫生部门作出相应的决策。 在上述模型中，易受感染者每天的发病率是 1％，它只与易受感染者的人数Sk有关。对于有些传染病，情形更为复杂，它不仅与易受感染者的人数有关，也与传染病人的人数Hk有关，因为传染病人的人数越多，传染病的发病率也就越高。这样，就必须将由 (1)，(2)和(3)式所给出的模型加以修改。这里，我们假设该地区人口总数为N，是一个常数。于是， Sk=N-(Hk＋Ik) (7) 其中Ik为在开始观察后第k天免疫者(或感染后痊愈者)的人数。设传染病人每天的痊愈率为α ，则 Ik...
