第一章 27 证明：如果整数a,b,c是互素且非零的整数，那么（ab,c)=(a,b)(a,c) 证明：由题(a,b)=1=(a,c), 因为a,b,c 互素，所以（ab,1）=1, 所以（ab,c)=(a,b)(a,c) 28 求最大公约数 （1）（55,85） 解：85=55*1+30 55=30*1+25 25=5*5 所以（55,85）=5 （2）（202,282） 解：282=202*1+80 202=80*2+42 80=42*1+38 42+38*1+4 38=4*9+2 4=2*2 所以（202,282）=2 29 求最大公因数 （1）（2t-1,2t+1） 解：2t+1=（2t-1）*1+2 2t-1=2*（t-1）+1 t-1=（t-1）*1 所以（2t-1,2t+1）=1 （2）（2n，2（n+1）） 解： 2（n+1）=2n*1+2 2n=2*n 所以（2n，2（n+1））=2 32 运用广义欧几里得除法求整数s，t使得sa+tb=(a,b) (1) 1613,3589 3589=1613*2+363 1613=363*4+161 363=161*2+41 161=41*3+38 41=38*+3 38=3*12+2 3=2*1+1 2=1*1+1 所以（1613,3589）=1 1=3-1*2=3-1*（38-3*12）=14*4-14*（161-3*41）= - 14*161+55*（363 - 2*161）=55*363+（-124）*（1613 - 4*363） =(-124)*1613+551*(3589 – 2*1613)=551*3589+(-1226)*1613 所以S=-1226 t=551 (2) 2947,3772 50 求最小公倍数 （1）8,60 （3）49,77 解：77=49*1+28 49=28*1+21 28=21*1+7 21=7*3 所以（49，77）=7 所以[49,77]=49*77/7=539 51 求最大公因数与最小公倍数 （1）22335577,27355372 解：所以（22335577,27355372）=22335372 [22335577,27355372]=27355577 （2）23571113，2*3*5*7*11*13 解：（23571113，2*3*5*7*11*13）=2*5*7 [23571113，2*3*5*7*11*13]=23*3*57*7*113*13 60 求7x+4y=100的整数解 解：因为 (7,4)|100 所以该方程有解 当 x=4，y=18时，7x+4y=100成立 所以方程的整数解为 X=4-4t t=0,+1,+ -2,…… y=18+7t 第二章 6 2008年5月9日是星期五，问第220080509天是星期几？ 8 设p是素数，证明：如果a2≡b2(mod p) 则 p|a-b或 p|a+b 10 设整数a,b,c(c>0),满足 a≡b(mod c),求证：（a,c）=(b,c) 16 计算 232(mod 47)，247（mod 47），2200(mod 47) 解：1）设m=47，b=2，令 a=1，将 32写成二进制 32=25 n0=0，a0=a=1 b1=b2≡4(mod 47) n1=0，a1=a0=1 b2=b12≡16(mod 47) n2=0，a2=a1=1 b3=b22≡21(mod 47) n3=0，a3=a2=1 b4=b32≡18(mod 47) n4=0，a4=a3=1 b5=b42≡42(mod 47) n5=1，a5=a4*b5≡42(mod 47) 2)由费马小定理得 247≡2(mod 47) 3)220...
