偏微分方程数值习题解答

李 微 分 方 程 数 值 解 习 题 解 答 1-1 如 果0)0('， 则 称0x 是)(xJ的 驻 点 （ 或 稳 定 点 ） .矩 阵 A对 称 （ 不必正定 ），求证0x 是)(xJ的 驻 点 的 充要条件是 ：0x 是 方程 组 bAx 的 解 证明:由)(的 定 义与内积的 性线性性质,得 ),()),((21)()(0000xxbxxxxAxxJ ),(2),()(200xAxxbAxxJ ),(),()(0'xAxxbAx 必要性:由0)0(',得,对 于任何nRx,有 0),(0xbAx, 由线性代数 结论知, bAxbAx00,0 充分 性 : 由bAx 0,对 于任何nRx, 0|),(),()0(00'xAxxbAx 即0x 是)(xJ的 驻 点 . §1-2 补 充 : 证 明)(xf的 不同的 广义导数几乎处处相等. 证 明 :设)(2 ILf ,)(,221ILgg为)(xf的 广义导数 , 由 广 义 导 数 的 定 义 可 知 , 对 于 任 意)()(0 ICx,有 babadxxxfdxxxg)()()()('1 babadxxxfdxxxg)()()()('2 两式相减,得到 )(0)()(021ICxggba 由变分基本引理,21gg 几乎处处为零,即21,gg几乎处处相等. 补 充 :证 明),(vua的 连续性条件(1.2.21) 证 明 : 设'|)(|,|)(|MxqMxp,由Schwarz 不等式 ||||.||||||||.|||||)(||),(|'''''vuMvuMdxquvvpuvuaba 11*||||.||||2vuM,其 中},max{'*MMM  习 题 : 1 设)(' xf为)(xf的 一阶广义导数,试用类似的 方法定义)(xf的 k 阶导数,...2,1( k) 解:一阶广义导数的 定义,主要是从经典导数经过分部积分得到的 关系式来定义,因此可得到如下定义: 对于)()(2 ILxf,若有)()(2 ILxg,使得对于任意的)(0 IC ,有 bakkbadxxxfdxxxg)()()1()()()( 则称)(xf有k 阶广义导数,)(xg称为)(xf的 k 阶广义导数,并记kkdxfdxg)( 注:高阶广义导数不是通过递推定义的 ,可能有高阶导数而没有低阶导数. 2. 利 用)(2 IL的 完 全 性 证 明))()((1IHIHm是Hilbert 空 间 . 证 明 :只 证)(1 IH的 完 全 性 .设}{nf 为)(1 IH的 基本 列 ,即 0||||||||||||0''01mnmnmnffffff 因 此 知}{} ,{'nnff都 是)(2 IL中 的 基 本 列 (按)(2 IL的 范 数 ).由)(2 IL的 完 全 性 ,存 在)(,2 ILgf,使 0||||,0||||0'0gfffnn,以...