博士试题2011矩阵论_最终版_

矩阵论考试试题 一 ( 20 分)已知23012012[ ]{ ( )|,,}F tf taa ta ta a aR==++∈为所有次数小于3的实系数多项式所成的线性空间，对于任意的3[ ]F t 中的元素2012( )f taa ta t=++，定义3[ ]F t 上的线性变换T ： 2122001[ ( )]()()()T f taaaa taa t=+++++ 1.求T 在基21, ,t t 下的矩阵A； 2.求象子空间3( [ ] )T F t和核1(0)T −的维数； 3.是否可以求出3[ ]F t 的一组基，使得线性变换T 在这组基下的矩阵为对角阵？如果不可以，请说明原因。 二（20 分） 已知1010011 ,11011Ab⎛⎞⎛ ⎞⎜⎟⎜ ⎟==⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎟⎝⎠⎝ ⎠， 1.求矩阵A的满秩分解; 2.求; 3.用广义逆矩阵方法判断方程组Axb=是否有解; 4.求方程组Axb=的最小二乘解，并求其极小最小二乘解。 三 (15 分)已知矩阵308316205A⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠。 1.求A的行列式因子，不变因子，初级因子； 2.求A的Jordan 标准形； 3.求A的最小多项式。 四 (15 分)已知126103114A−−⎛⎞⎜⎟= −⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠。 1.求sin At； 2.计算sindAtdt。 五 (10 分)求矩阵121001121A⎛⎞⎜⎟= ⎜⎟⎜⎟⎝⎠的 QR 分解。 六（10 分）设T 是 n 维线性空间V 上的线性变换，证明： 1( )(0)T VT −⊆ 的充要条件是20T =。 七 (10 分) 设 ⋅ 是n nC × 上的 F-范数。证明：若1A < , E 为 n 阶单位阵，则矩阵 EA−可逆，且 111()1EAEAA−≤−≤−−。 矩阵论参考答案 一、（20 分） 1 . （5 分） 2222[1]0 1 11[ ]1 101[ ]1 1 10TttT tttT ttt=⋅ − ⋅ + ⋅= ⋅ +⋅ − ⋅= − ⋅ + ⋅ +⋅------------------------------3分 于是有 22011(1, ,)(1, ,) 101110Ttttt⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，故 T 在基下的矩阵都是 011101110A⎛⎞⎜⎟= ⎜⎟⎜⎟⎝⎠. -----------5分 2. （5 分）因为矩阵( )2R A =可逆，故3dim( [ ] )dim( )3T F tR A== 从而有13dim(0)3dim( [ ] )0TT F t−=−=------------------5 分 3 . (10 分) A的特征值为1231,2λλλ== −=-------------2分 所对应的特征向量分别为1231111 ,0 ,1011ξξλ⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟= −==⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟−⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠--------7分 令221231,1,1ttt tγγγ= −= −= + +，则其为3[ ]F t 的一组基，且线性变换T 在这组基...