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1第五章合作博弈1. 设三人联盟博弈的特征函数 v 的值是：v({i})=0,i=1,2,3;v({1,2})=2/3,v({1,3})=7/12,v({2,3})=1/2, v({1,2,3})=1。求出该联盟博弈的核心，并用图形表示出来。解：博弈 G 的核心 C(v)。博弈 G 的转归集 I[N,v]为:123123123[, ]{( ,,)0,0,0,1}I N vxx x xxxxxxx==≥≥≥++=若，则的充分条件为：],[),,(321vNIxxxx∈=)(vCx∈x1≥0; x2≥0; x3≥0;x1+x2≥2/3; x1+x3≥7/12; x2+x3≥1/2;x1+x2+x3=1由后面几个不等式得到 x1≤1/2 ;x2 ≤5/12, x3≤1/3.该联盟博弈的核心 C(v)={(x1,x2,x3)| 0≤x1≤1/2,0≤x2 ≤5/12,0≤x3≤1/3,x1+x2+x3=1}123x331≤x2125≤x121≤核心 C(v)是图中阴影区域（含边界）。2. 假设有一3人合作博弈，其特征函数为：v({1, 2, 3})=200,v({1,2})=150,v({1,3})=110,v({2,3})=20,v({1})=100,v({2})=10,v({3})=0。计算该合作博弈的Shapley值，核心，最小ε-核心，稳定集，内核和核仁。1、Shapley 值φ 1(v)＝1/3（100-0）＋1/6（150－10）＋1/6（110-0）＋1/3（200-20）＝135φ 2(v)＝1/3（10-0）＋1/6（150－100）＋1/6（20-0）＋1/3（200-110）＝45φ 3(v)＝1/3（0-0）＋1/6（20－10）＋1/6（110-100）＋1/3（200-150）＝20所以该博弈的 Shapley 值φ (v)＝（135，45，20）2、博弈 G 的核心 C(v)。2博弈 G 的转归集 I[N,v]为:}200,0,10,100),,({],[321321321=++≥≥≥==xxxxxxxxxxvNI若，则的充分条件为：],[),,(321vNIxxxx∈=)(vCx∈x1≥100; x2≥10; x3≥0;x1+x2≥150; x1+x3≥110; x2+x3≥20;x1+x2+x3＝200对此可作高为 200 的重心三角形Δ123。并在此重心三角形内绘制核心为多边形)(vCABCDEF。3、定义强核心为ε'[, ]CN vε*( ){ | ( )( ),,,(, )}C vx v Sx SSS N SxIN vεεφ=≤+∀ ⊂≠∈并记 LC`为最小强核心，即，其中是使的最小值。ε0''[, ]LCCN vε=0ε'[, ]CN vε≠∅ε解线性规划为：Z＝minεx1+ε≥100; x2+ε≥10; x3+ε≥0;x1+x2+2ε≥150; x1+x3+2ε≥110; x2+x3+2ε≥20;x1+x2+x3＝200xi≥0， i＝1，2，3，4解得：minε＝ε0 ＝-16.6667，那么LC`＝（133.5953，49.7381，16.6667）33、稳定集 V(v)由定理可知，，核心是稳定集中的子集，即上图中多边形 ABCDEF 为稳定( )( )C vV v⊆集的子集，C`为 BG 上的点，D`为 LK 上的点，E`为 HJ 上的点，F`为 OA 上的点,如图所示：稳定集````)(FFEEDDCCABC...