各种数学归纳法

1 .5 归纳法原理与反归纳法 数学归纳法是中学教学中经常使用的方法．中学教材中的数学归纳法是这样叙述的：如果一个命题与自然数有关，命题对 n=1 正确；若假设此命题对 n－1 正确，就能推出命题对n 也正确，则命题对所有自然数都正确．通俗的说法：命题对 n=1 正确，因而命题对 n=2 也正确，然后命题对 n=3 也正确，如此类推，命题对所有自然数都正确．对于中学生来说，这样形象地说明就足够了；但是毕竟自然数是无限的，因而上述描述是不够严格的，有了皮阿罗公理后，我们就能给出归纳法的严格证明． 定理1 .1 9 如果某个命题Ｔ，它的叙述含有自然数，如果命题Ｔ对 n=1 是正确的，而且假定如果命题Ｔ对 n 的正确性就能推出命题Ｔ对 n+1 也正确，则命题Ｔ对一切自然数都成立．（第一数学归纳法） 证明 设Ｍ是使所讨论的例题Ｔ正确的自然数集合，则 (1) M1． 设Mn ，则命题Ｔ对 n 正确，这时命题对nn1也正确，即 (2) Mn  所以由归纳公理Ｄ，Ｍ含有所有自然数，即命题Ｔ对所有自然数都成立． 下面我们给出一个应用数学归纳法的命题． 例１ 求证 6)12)(1(21222nnnn 证明 (1)当 n=1 时，有 16)112()11(112 所以 n=1，公式正确． (2)假设当 k=n 时，公式正确，即 6)12)(1(21222nnnn 那么当 k=n＋１时，有 22222222)1()21()1(21nnnn 2)1(6)12)(1(nnnn 6)1(6)12)(1(2nnnn 6)]1(6)12()[1(nnnn 6)672)(1(2nnn 6)32)(2)(1(nnn 6)1)1(2)(1)1)((1(nnn 所以公式对 n+1 也正确． 在 利 用 数 学 归 纳 法 证 明 某 些 命 题 时 ，证 明 的 过 程 往 往 归 纳 到 n-1 或 n-2，而 不 仅 仅 是 n-1，这 时 上 述 归 纳 法 将 失 败 ， 因 而 就 有 了 第 二 数 学 归 纳 法 ． 在 叙 述 第 二 归 纳 法 以 前 ， 我 们 先 证 明几 个 与 自 然 数 有 关 的 命 题 ． 命题１ 若ba ， 则cbca． 证 明 因 为ba  所 以 kba kcbckbca)( 所 以 cbca 命题２ １ 是 自 然 数 中 最 小 的 一 个 ． 证 明 若1a， 则 a 有 前 元 b， 所 以 .)1(1,abaab 命题3 若ab ，...