合理构造函数解导数问题

1 合理构造函数解导数问题 从近几年的高考命题分析，高考对导数的考查常以函数为依托的小综合题，考查函数、导数的基础知识和基本方法.近年的高考命题中的解答题将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起，设计综合试题。在内容上日趋综合化，在解题方法上日趋多样化. 解决这类有关的问题，有时需要借助构造函数,以导数为工具构造函数是解导数问题的基本方法，但是有时简单的构造函数对问题求解带来很大麻烦甚至是解决不了问题的，那么怎样合理的构造函数就是问题的关键，这里我们来一起探讨一下这方面问题。 例 1 ：（2 0 0 9 年宁波市高三第三次模拟试卷 2 2 题） 已知函数 axxxaxxf231ln. (1 ) 若 32为 xfy 的极值点，求实数a 的值； (2 ) 若 xfy 在,1上增函数，求实数a 的取值范围； (3 ) 若1a时，方程  xbxxf311有实根，求实数b 的取值范围。 解：（1 ）因为32x是函数的一个极值点，所以0)32(f，进而解得：0a，经检验是符合的，所以.0a （2 ）显然 ,2312axxaxaxf结合定义域知道01 ax在 ,1x上恒成立，所以0a且01 axa。同时axx 232此函数是31x时递减，31x时递增， 故此我们只需要保证 02311aaaf，解得：.2510 a （3 ）方法一、变量分离直接构造函数 解：由于0x，所以：2lnxxxxb32lnxxxx  2321lnxxxxg  xxxxxxg1266212 当6710 x时， ,0 xg所以 xg在6710 x上递增； 当671x时， ,0 xg所以 xg在671x上递减； 又  ,01 g  .6710,000xxg 2 x  xg0 1原函数草图 0x x  xg  0 671x 二阶导数草图 x  xg 0 1 0x 671x 一阶导数草图 当00xx 时， ,0 xg所以 xg在00xx 上递减； 当10 xx时， ,0 xg所以10 xx上递增； 当1x时， ,0 xg所以 xg在1x上递减； 又当x时， ,xg  41lnlnln232xxxxxxxxxxxg 当0x时，,041lnx则 ,0xg且 01 g ...