图例图例 3-图例 3-•.•ZE在 Rt^ACF 中，有:AF 二 AC 十 cosZCAF=、.j3BF=2AF=4中考数学折叠问题专项突破 4--折叠中直角三角形存在性问题模块四图形折叠中的直角三角形存在性问题【典例 1】如图例 3-1,在 Rt^ABC 中，ZACB=90°,ZB=30°,BC=3，点 D 是 BC 边上一动点（不与点B、C 重合），过点 D 作 DE 丄 BC 交 AB 边于点将 ZB 沿直线 DE 翻折，点 B 落在射线 BC 上的点 F处，当 AAEF 为直角三角形时，BD 的长为【解析】从题目所给的“当 AAEF 为直角三角形时”条件出发，以直角顶点所在位置进行分类讨论.通过观察及分析可知 ZBED=ZDEF=60°，所以 ZAEF=180-120°=60°.即点 E 不可能为直角顶点.分两种情况考虑：①当/EAF=90。时，如图例 3-2 所示.•••ZB=30°,BC=3，：・■■3__AC 二 tan30oxBC 二〒x3=J3，AB=2AC=2,1由折叠性质可得：ZB=ZDFE=30°,BD=DF=-BF=21② 当 ZAFE=90。时，如图例 3-3 所示•由折叠性质得:/B=/DFE=30。,BD=DF=-BF=2.\ZAFC=60°,ZFAC=30°ACF 二 tanZFACxAC 二〒x 叮 3 二 1，所以，BF=2,1BD=DF=—BF=1，综上所述，BD 的长为 2 或 1.【小结】本题难度适中，要求学生具备分类讨论思想及数形结合解决问题的能力，另外还需要熟练运用勾股定理及相似三角形知识.通过此题，可总结出：①遇到直角三角形存在性问题时，分类讨论的出发点在于直角顶点的位置；②解决直角三角形存在性问题的方法是数形结合，先作出符合题意的图形，再用勾股定理或相似三角形、三角函数性质解题.【典例 2】如图例 4-1,矩形 ABCD 中，AB=3,BC=4,点 E 是 BC 边上一点，连接 AE,把 ZB 沿 AE 折【解析】此题以“当△CEB'为直角三角形时”为突破口，分析可能是直角顶点的点，得出存在两种情况,即点 B'及点 E 分别为直角顶点•分两种情况考虑：① 当 ZCEB'=90°时，如图例 4-2 所示.由折叠性质得：AB=AB'，四边形 ABEB'是矩形•所以四边形 ABEB 是正方形•此时，BE=AB=3.② 当 ZCB'E=90°时，如图例 4-3 所示.由折叠性质知，ZAB'C=90。，所以 ZAB'C+ZCBE=180°.・・・点 A、B'、C 共线在 Rt^ABC 中，由勾股定理得 AC=5由折叠得：AB=AB=3所以 BC=2 设 BE=x，贝 9B'E=x，EC=4_x在 Rt^ABC 中，由勾股定理得：EC2=BE+BC即：(4-X)2=X2+22解得：x=1.5.综上所述，BE 的值为 3 或 1.5.【小结】本题解题关键在准确对问题进行分类讨论且作出相应图形...
