三角形的五心-A（角分线心）内心与旁心 陶平生三角形的五心是指内心、外心、重心、垂心与旁心；在数学竞赛中占有十分重要的位置．从赛题统计方面来看，其中又以角分线心的问题最为突出，必须熟悉其基本性质，基本构形，常用辅助线以及基本定理的应用．本讲座介绍内心与旁心问题的内心为，而边外的旁心分别为；分别是三条内角平分线，交三角形外接圆于，交外接圆于，交于，显然，三角形过同一顶点的内、外角平分线互相垂直，并且有、；、；、；；、；；、；、；（称为对称比定理）．、，（俗称“鸡爪”定理）．（注意，中最后一等式仅当外角分线与边有交点时使用）、中，是的平分线，点分别在上，满足，分别是的中点；证明：∥．、是直角三角形斜边上的高，（），分别是的内心，的外接圆分别交于，直线交于点；证明：分别是的内心与旁心．、四边形中，，自对角线的交点，作于，线段交于，交于，是线段上的任意一点.证明：点到线段的距离等于到线段、的距离之和.、的外心为，是的中点，直线交于，点分别是的外心与内心，若，证明：为直角三角形．、如图，四边形内接于，而与外切于点，且都内切于，若对角线分别是、的内、外公切线；证明：点是的内心．、如图，是所在平面上的一点，设点关于该三角形的三条内角平分线的对称点为；证明：三线共点．、（年全国高中数学联赛）内接于, 自作的切线, 又以为圆心,为半径作交直线于，交直线于；证明：四边形的四条边所在直线分别通过的内心及三个旁心.、中，是角平分线上的任一点，分别是延长线上的点，且∥，∥；若分别是的中点；证明：．、中，内切圆切于，设是的直径，若交于；证明：．KI1I3EI2DNFIMACBDNMQABCPPO1OBDO2CAI1I2I3IE2E1F1F2ABCD1M1M2M3D3D2MA2A1A3MNFEABCD精品文档---下载后可任意编辑、（年东南赛）已知、分别是的外接圆和内切圆；证明：过上的任意一点，都可作一个三角形，使得、分别是的外接圆和内切圆．、是内的一点，，若，证明：．、如图，分别是的外心与内心，是边上的高，在线段上；求证：的外接圆半径等于边上的旁切圆半径．（年全国高中数学联赛）、（年中国数学奥林匹克试题）设锐角的三边长互不相等，为其外心，点在线段的延长线上，使得，过点分别作，垂足分别为，作，垂足为，记的外接圆半径为，类似地可得；求证：．、设与的边分别切于点，又与的外接圆相切于点；证明：线段过的内心．（曼海因定理）、中，是内心，是的中点，角的平分线交三角形的外接圆于，是关于的对称...
