精品文档---下载后可任意编辑两类无穷维李代数表示的讨论中期报告无穷维李代数的表示论是李代数讨论中的重要分支之一。本文介绍了两类无穷维李代数表示的讨论进展，并简要讨论了未来的进展方向。第一类是基于环形变换的表示。受到费曼路径积分的启发，环形变换表示将无穷维李代数通过环形路径上的微分操作来实现，从而获得李代数的表示。环形变换表示在弦论、量子场论等领域中得到了广泛的应用。最近，一些学者对环形变换表示的数学性质进行了深化讨论，并提出了新的思路和方法。比如，将环形路径上的微分操作转化为确定性动力学系统的哈密顿形式，使环形变换表示的构造更加简洁和系统化；在将环形变换表示与李代数的其他表示进行比较时，采纳了信息几何体系的方法，从而更加准确、全面地理解和描述它们之间的关系。第二类是基于覆盖空间的表示。在几何拓扑学中，覆盖空间是一个重要的概念，它可以被看作作为底空间的“复制品”，并且它们之间存在着一些有趣的关系。类似地，通过将无穷维李代数的表示“提升”到某个覆盖空间上，我们可以得到更为复杂和有趣的表示。在这方面，最为著名的例子是 WZW 模型，它是一种有限维 Lie 群在无穷维李代数上的表示。对 WZW 模型的讨论不仅深化探讨了其数学性质，还在物理学中得到了广泛应用。未来，无穷维李代数表示的讨论仍将面临巨大挑战和机遇。一方面，需要深化讨论不同类型的表示及其之间的相互作用，从李代数本身出发去深化对无穷维李代数表示的认识；另一方面，需要通过与物理现象的结合，寻求更多新的应用和发掘其潜在价值。
