数的起源和发展集团文件版本号：(M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988)数的起源和发展［摘要］文章讨论了新旧石器时代数的起源问题以及数的发展及其进化史，重点介绍了数的四次扩张及由数引起的第一、二次数学危机。［关键词］数；具象；抽象；序列；数学危机；记数符号；数系数是人类日常生活中不可缺少的内容，是我们表示数量关系的尺度。从远古时期以绳打结、刻痕的记数方式到近现代四元数的产生，经历了漫长而复杂的历史进程，可以说数的起源和发展已成为人类文明的一个重要组成部分。一、数的起源探讨数的起源问题不仅是对数的起源作理性思维的概貌性描述和进行简单的直观类比判断，而且需要追溯数的起源中的每一个别的步骤，研究数的观念是怎样从模糊走到纯粹的。人类所创造的自然数是从 1 和 2 开始的，因此了解数的起源，必须要追溯 1 和 2 这两个数字在人们的思维中是如何产生的。旧石器时代早期的人类尚未完成由猿到人的转变，谈不上数的观念。要追溯数的起源，必须从旧石器时代晚期的二元对立观念的产生说起。因为只有对立观念产生，数才能起源，单个的事物是不能形成数的观念的。在对立统一规律中，一方相对于另一方而存在。数字中的 1 和 2 的关系也是如此，它们共存共亡，共生共灭。笔者认为，1 和 2 是同时起源的，并且这一组对立形成之后，按一分为二对立原则不断扩大使用。也就是说，人脑思维的对立运动首先萌生了 1 和 2 这样两个基本的数的概念，然后才有可能发展和扩大去滋生更多的数。从这个意义上说数起源于二元对立的出现，二元对立观念是数的起源史上第一个里程碑。然而，此时人们远未产生纯粹的数的概念。到了新石器时代早中期，数的观念在继承旧石器时代的二元对立观念的同时，朝着抽象化的方向迈进了一大步。在这个时期，彩陶纹饰和神话是重要的符号形式，数的观念也在其中得到体现。从总体上看，此时数的抽象化程度仍未达到消除在系统整体中位置相同的一切事物和现象差异的高度。随着社会的发展，中期仰韶文化的庙底沟类型的彩陶纹饰使得数的观念从具象化到抽象化迈出了决定性的一步，从而具备了符号的抽象化本质。符号的抽象化在数的产生中完成了重要一步，但其还未决定数的观念的最后产生。人们只有将开头不自觉的、无意识的“偶然的并列”转化为自觉地、有意识地去进行排列，才能正式产生数列的观念。因此，在古代的新、旧石器时代，数的起源历史经过了三个发展阶段，即从具象走向抽象，再...
