侦察机搜索潜艇数学综合能力测试

精品文档---下载后可任意编辑姓名：李昊燃 学号：20244850 专业：物流工程聂轩 20244260 电子信息工程别一凡 20244591 自动化 侦察机搜索潜艇问题摘要 本模型通过对侦察机和潜艇的位置和速度关系进行微分方程的建立以及求解，最后通过对模型的分析的得出最短的航线。 1. 问题重述 侦察机搜索潜艇，设 t=0 时潜艇在点 O，飞机在 A,OA=6 公里，此时潜艇潜入水中并沿着飞机不知道的某一方向以直线形式逃去，潜艇速度 20 公里/时。飞机以速度 40 公里/时根据待定的航线搜索潜艇，当且仅当飞到潜艇的正上方时才可发现它。（1）、以为原点建立座标系，点位于的向径上，见下图。分析图中由，，组成的小三角形，证明在有限时间内飞机一定可以搜索到潜艇的航线，上先从点沿直线飞到某点，再从沿一条对数螺线飞行一周，而是一个圆周上的任一点。给出对数螺线的表达式，并画出一条航线的示意图。（2）、为了使整条航线是光滑的，直线段应与对数螺线在点相切，找出这条光滑的航线。（3）、在所有一定的可以发现潜艇的航线中哪一条航线是最短的，长度是多少。光滑的航线的长度又是多少。问题一给出了极坐标的形式，可以在建立模型时采纳极坐标的方程，及通过对潜艇和飞机位置的变化反映在 θ 的变化上面，进而建立关于 dθ 的微分方程进行求解；问题二寻找直线段与对数螺旋线相切的航道，可以假设出直线的方程，通过对待定系数求解即可； 问题三是选额航线最短的航道，对螺线进行旋转，改变飞机的方向从而找到至少一个相切的点，带入计算航程，比较即可。),(θr)+,(θdθr)+,+(θdθdrrA精品文档---下载后可任意编辑Θ：极坐标下角度 r：向径 t:时间 s:弧长（航道长度）第一题解：本题坐标系为极坐标系，但便于理解和计算在坐标系中也画出了直角坐标轴。1、证明并找出可行航线。1）、确定对数螺线方程如图①，以为原点建立极坐标系（r,θ)，（6，0）点位于=的向径上。设对数螺线为r =aebθ(a≠0,b≠0)。在某一时刻，飞机到达(r ,θ)点，且潜艇恰好到达(r ,θ+dθ)点，，位于以圆心的同一圆周上，即OP=OQ=r 。之后，飞机沿 M 由飞向(r+dr ,θ+dθ)，潜艇沿OQ 航向R，要使飞机搜索到潜艇，则必有飞机与潜艇同时到到达 R，即t PR=t OR ，又知飞机的速度为潜艇的 2 倍，则可得： S PR=2SOR ……………………………………………………①由数学分析中极坐标下弧长的积分公式：S =∫αβ √r2+r' 2 d θ可得弧 PR ...