几何定值与极值问题

精品文档---下载后可任意编辑 1. 几何定值问题 (1)定量问题：解决定量问题的关键在探求定值，一旦定值被找出，就转化为熟悉的几何证明题了。探求定值的方法一般有运动法、特别值法及计算法。 (2)定形问题：定形问题是指定直线、定角、定向等问题。在直角坐标平面上，定点可对应于有序数对，定向直线可以看作斜率一定的直线，实质上这些问题是轨迹问题。 2. 几何极值问题：最常见的几何极值问题大体包括：有关线段的最大最小问题；三角形面积的最大最小问题；角的最大最小问题等。【例题分析】例 1. 已知的两边的中点分别为 M、N，P 为 MN 上的任一点，BP、CP 的延长线分别交 AC、AB 于 D、E，求证：为定值。分析：用运动法探求定值，先考虑特别情况，令 P 在 MN 上向 M 运动，此时 D 点向 A 运动，P 点运动到 M 时，D 点将与 A点重合，而 AM＝MB，于是，于是转入一般证明。证明：连结 AP例 2. 两圆相交于 P、Q 两点，过点 P 任作两直线与交一圆于 A、B，交另一圆于、，AB 与交于点 C，求证：为定值。分析：设两圆为⊙O、⊙，现从运动极端分析，因为直线与都是以 P 为固定点运动的。当与重合时，便成了左图的情况，而 AC 和分别成了两圆的切线。且，QA、分别为直径。容易求得这就是所求的定值。证明：如右图，连结 PQ、BQ、则有例 3. 在定角 XOY 的角平分线上，任取一点 P，以 P 为圆心，任作一圆与 OX 相交，靠近 O 点的交点为 A，与 OY 相交，远离 O 点的交点为 B，则为定角。分析：先探求定值，根据特别化求定值，一般证明的原则，先看图(2)，假如以角平分线上任意一点 P 为圆心，以 OP 为半径作圆，此时，A 点与 O 点重合，证明：如图(1)，作例 4. 已知 E、F 分别是四边形 ABCD 的 AB、CD 边上的中点精品文档---下载后可任意编辑求证：分析：本题即证 EF 的最大值为，因此可先考虑特别情况，以找出等号成立的条件，再证一般情况。证明：(1)当四边形中 AD//BC 时，如左图EF 是梯形 ABCD 的中位线 (2)当 AD 不平行 BC 时，如右图连结 AC，取 AC 的中点 G，再连结 EG、FG在中，在中，又中，综合(1) (2)，得【考点解析】例 1. 如图，AD 是⊙O 的直径，B 是 AD 延长线上一点，BE 切⊙O 于点 E，交 BE 延长线于点 C，若，弦 EG 交 AD 于点 F。求证：。证明：连结 AE、ED点评：本题用到了垂径定理的推论，圆周角、弦切角、直径...