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分离变量法习题

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精品文档---下载后可任意编辑1 求解混合问题,其中解:用分离变量法:设混合问题的非零解函数为,则, 代入混合问题中的微分方程可得:由初始条件可得:由此可得,为如下常微分方程边值问题的非零解:若 λ<0,则此定解问题的微分方程的通解为,代入边值条件后可得,不符合要求。若 λ=0,则此定解问题的微分方程的通解为,代入边值条件后仍可得,不符合要求。若 λ>0,则此定解问题的微分方程的通解为,代入边界条件后可得:,,所以可取 由所满足的方程可得:,所以,原混合问题的微分方程的满足边界条件的分离变量形式解为,设原混合问题的解函数为 ,则由初始条件可得:,, (*)所以,原混合问题的解为 ,其中的由(*)给出。2 求解混合问题解:由于边界条件非齐次,需作函数变换如下:设,则 ,, , ,所以,是原混合问题的解的充要条件是:是如下混合问题的解: (*)用分离变量法求解此定解问题,由分离变量法的标准步骤可得:,代入初始条件可得:, ,)()0,(,0)0,(0),(,0),0()0,0(02xxuxutlututlxuautxxttlxccxcvcxx000)(0)()(),(tTxXtxu)()(),(),()(),(tTxXtxutTxXtxuxxtt)()()()(0)()()()(22tTtTaxXxXtTxXatTxX0)()0(0)()(),()()0(),0(lXXtTlXtlutTXtu)(xX0)(,0)0()0(0)()(lXXlxxXxX)exp()exp()(21xcxcxX0)(021xXccxccxX21)(0)(021xXccxcxcxXsincos)(21xcxXcccXsin)(00sin0cos)0(212122,0sin0)(,0sin)(lnlxXlclXn),2,1(sin)()(nlxnxXxXn)(tTlatnblatnatTtTtTatTnnnsincos)()(0)()(22lxnlatnblatnatTxXtxutxunnnnnsin)sincos()()(),(),(1sin)sincos(),(nnnlxnlatnblatnatxu),2,1(0sin)0,(01nalxnaxunnn1sincos),(nntlxnlatnblantxulnnntdxlxnxanblxnblatnxux01sin)(2sin)0,()())(cos)((cos2sin22200lcnlcnanlvdxlxnvanbccn1sinsin),(nnlxnlatnbtxu)ExuxutluEtutlxuautxxtt为常数(0)0,(,0)0,(0),(,),0()0,0(02)(),(),()(),(),(xll...

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