分离变量法习题

精品文档---下载后可任意编辑1 求解混合问题，其中解：用分离变量法：设混合问题的非零解函数为，则， 代入混合问题中的微分方程可得：由初始条件可得：由此可得，为如下常微分方程边值问题的非零解：若 λ<0，则此定解问题的微分方程的通解为，代入边值条件后可得，不符合要求。若 λ=0，则此定解问题的微分方程的通解为，代入边值条件后仍可得，不符合要求。若 λ>0，则此定解问题的微分方程的通解为，代入边界条件后可得：，，所以可取 由所满足的方程可得：，所以，原混合问题的微分方程的满足边界条件的分离变量形式解为，设原混合问题的解函数为 ，则由初始条件可得：，， （*）所以，原混合问题的解为 ，其中的由（*）给出。2 求解混合问题解：由于边界条件非齐次，需作函数变换如下：设，则 ，， ， ，所以，是原混合问题的解的充要条件是：是如下混合问题的解： （*）用分离变量法求解此定解问题，由分离变量法的标准步骤可得：，代入初始条件可得：， ，)()0,(,0)0,(0),(,0),0()0,0(02xxuxutlututlxuautxxttlxccxcvcxx000)(0)()(),(tTxXtxu)()(),(),()(),(tTxXtxutTxXtxuxxtt)()()()(0)()()()(22tTtTaxXxXtTxXatTxX0)()0(0)()(),()()0(),0(lXXtTlXtlutTXtu)(xX0)(,0)0()0(0)()(lXXlxxXxX)exp()exp()(21xcxcxX0)(021xXccxccxX21)(0)(021xXccxcxcxXsincos)(21xcxXcccXsin)(00sin0cos)0(212122,0sin0)(,0sin)(lnlxXlclXn),2,1(sin)()(nlxnxXxXn)(tTlatnblatnatTtTtTatTnnnsincos)()(0)()(22lxnlatnblatnatTxXtxutxunnnnnsin)sincos()()(),(),(1sin)sincos(),(nnnlxnlatnblatnatxu),2,1(0sin)0,(01nalxnaxunnn1sincos),(nntlxnlatnblantxulnnntdxlxnxanblxnblatnxux01sin)(2sin)0,()())(cos)((cos2sin22200lcnlcnanlvdxlxnvanbccn1sinsin),(nnlxnlatnbtxu）ExuxutluEtutlxuautxxtt为常数(0)0,(,0)0,(0),(,),0()0,0(02)(),(),()(),(),(xll...