数列通项数列前n项和的求法例题练习

精品文档---下载后可任意编辑一、新课讲授：求数列前 N 项和的方法1. 公式法（1）等差数列前 n 项和：特别的，当前 n 项的个数为奇数时，，即前 n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。（2）等比数列前 n 项和：q=1 时，，特别要注意对公比的讨论。（3）其他公式较常见公式：1、Sn=∑k=1nk=12 n(n+1)2、Sn=∑k=1nk2=16 n(n+1)(2n+1)3、Sn=∑k=1nk3=[ 12 n(n+1)]2[例 1] 已知log3 x= −1log23 ，求x+x2+x3+¿⋅¿+xn+¿⋅¿的前 n 项和.[例 2] 设 Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求f (n)=Sn(n+32) Sn+1 的最大值.2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前 n 项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.[例 3]求和：Sn=1+3 x+5x2+7 x3+¿⋅¿+(2n−1)xn−1………………………①[例 4] 求数列22 , 422 , 623 ,⋅¿⋅, 2n2n ,⋅¿⋅¿ ¿前 n 项的和.练习：求：Sn=1+5x+9x2+······+(4n-3)xn-1答案：当 x=1 时，Sn=1+5+9+······+（4n-3）=2n2-n当 x≠1 时，Sn= 1 1-x [ 4x(1-xn) 1-x +1-（4n-3）xn ]3. 倒序相加法求和这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到 n 个(a1+an). [例 5] 求sin21∘+sin22∘+sin23∘+¿⋅¿+sin288∘+sin289∘的值4. 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例 6] 求数列的前 n 项和：1+1, 1a +4, 1a2 +7,⋅¿⋅,1an−1 +3n−2，…练习：求数列1 12 ,2 14 ,3 18 ,⋅¿⋅,(n+ 12n ),⋅¿⋅¿ ¿的前 n 项和。5. 裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）an=f (n+1)−f (n) （2）sin1∘cos n∘cos(n+1)∘ =tan(n+1)∘−tann∘（3）an=1n(n+1)=1n− 1n+1 （4）an=(2n)2(2n−1)(2n+1)=1+ 12 (12n−1−12n+1 )（5）an=1n(n−1)(n+2)=12 [1n(n+1)−1(n+1)(n+2) ](6) an=n+2n(n+1)⋅12n=2(n+1)−nn(n+1) ⋅12n=1n⋅2n−1−1(n+1)2n ,S则n=1−1(n+1)2n[例 9] 求数列11+√2,1√2+√3,⋅¿...