精品文档---下载后可任意编辑五．证明题1．设 A，B 为 R 中的非空数集，且满足下述条件：（1）对任何a∈ A ,b∈B有a0 ，存在x∈ A, y∈ B，使得Y−x<ε .证明：sup A=inf B.2.设 A，B 是非空数集，记S= A∪B ，证明：（1）sup S=max {sup A,sup B}；（2）inf S=min {inf A,inf B }3. 按ε−N 定义证明limn→∞5n2+n−23n2−2 = 53ε-N 方法给出limn→∞ an≠a的正面陈述？并验证||和|(−1)n|是发散数列.ε−δ 方法验证：limx→1x2+x−2x( x2−3 x+2)=−3.6． 用ε−M 方法验证：limx→−∞x√x2+1−x=−12 .7 . 设limx→x 0ϕ( x)=a，在某邻域U °( x0;δ1)内ϕ( x)≠a，又limt→af (t )=A .证明limx→x 0f ( ϕ( x))=A.f ( x)在点的邻域内有定义.试证：若对任何满足下述条件的数列{xn}，（1）xn∈U°( x0)，xn→ x0 ，（2）0<|xn+1−x0|<|xn−x0|，都有limn→∞ f ( xn)=A，则limx→x 0f ( x)=A.9. 证明函数f(x)=¿{x3, x为有理数，¿¿¿¿在x0=0处连续，但是在x0≠0处不连续.f ( x)在（0，1）内有定义，且函数e xf ( x)与e−f (x)在（0，1）内是递增的，试证f ( x)在（0，1）内连续.11. 试证函数y=sinx2，在[0,+∞)上是不一致连续的.12. 设函数f ( x)在（a,b）内连续，且limx→a+ f ( x)=limx→b− f ( x)=0，证明f ( x)在（a,b）内有最大值或最小值.13. 证明：若在有限区间（a,b）内单调有界函数f ( x)是连续的，则此函数在（a,b）内是一致连续的.14 . 证明：若|f (x)|在点 a 处可导，f（x）在点 a 处可导.15. 设函数f (x)在(a,b)内可导，在[a,b]上连续，且导函数f '( x )严格递增，若f (a)=f (b)证明，对一切x∈(a,b)均有16. 设函数f ( x)在[a,+∞]内可导，并且，试证：若当x∈(a,+∞)时，有则存在唯一的ξ ∈(a,+∞)使得f (ξ)=0 ，又若把条件减弱为，所述结论是否成立？17. 证明不等式为上的连续函数，对所有，且，证明必能取到最大值.19.若函数在上二阶可导, 且，，，则存在使得.20.应用函数的单调性证明21. 设函数f (x)=¿{xmsin1x,x≠0¿¿¿¿ （为实数），试问：（1）等于何值时，在连续；（2）等于何值时，在可导； （3）等于何值时，在连续；22.设在上具有二阶导数，且满足条件，，精品文档---下载后可任意编辑其中都是非负常数，是内的任一点，证明23. 设函数f (x)在[a,b ]上连续，在...
