[摘要]本文主要介绍著名不等式——柯西不等式的几种证明方法及其在初等数学解题中的应用.同时对其在其他领域的推广进行了简要论述，并且对其在中学数学教学中的一些问题进行讨论，对柯西不等式在高中数学解题中的应用进行了广泛的取证并得到了证明，从而肯定了其在高中数学学习中的重要性.[关键词]柯西（Cauchy）不等式；应用函数最值；三角函数证明；不等式教学1 引言中学教材和教辅读物中有不少地方都有一些高等数学知识的雏形和影子.在中学数学教学中，不等式的教学一直是一个难点，学生在学习和应用不等式同时，都会觉得解题中困难重重.而柯西不等式是著名的不等式之一，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解.柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题具有重要的应用.基于此，本文拟以柯西不等式为出发点，从其证明方法到推广及应用技巧等方面进行总结和归纳，并简谈其在中学数学中的一些应用.2 柯西不等式的证明本文所说的柯西不等式是指 (1)当且仅当时，等号成立.2.1 构造二次函数证明首先 当或时，不等式显然成立.令当中至少有一个不为零时，可知A>0,构造二次函数展开得故的判别式,移项得,得证.2.2 向量法证明令则对向量有得当且仅当，即平行式等号成立.2.3 数学归纳法证明a) 当 n=1 时 有，不等式成立.b) 当 n=2 时 因为，故有当且仅当，即时等号成立.c) 假设 n=k 时等式不成立，即当且仅当时等号成立.d) 那么当 n=k+1 时(a1b1+a2b2+⋯+akbk+ak+1bk+1)=(a1b1+a2b2+⋯+ak bk )2+2ak+1 bk+1(a1b1+a2b2+⋯+a k bk)+ak+12bk+12¿(a12+a22+⋯+ak2)⋅(b12+b22+⋯+bk2)+2ak+1bk+1(a1b1+a2b2+⋯+ak bk)+ak+12bk+12¿(a12+a12+⋯+ak2)⋅(b12+b22+⋯+b32)+a12bk+12¿(a12+a22+⋯+ak+12)⋅(b12+b22+⋯+bk+12)当且仅当时等号成立.于是 n=k+1 时不等式成立.由 a),b)c),d)可得对于任意的自然数 n，柯西不等式成立.2.4 利用恒等式证明先用数学归纳法证明如下恒等式，然后证明柯西不等式：对于两组实数有柯西—拉格朗日恒等式精品文档---下载后可任意编辑由实数性质可得柯西不等式成立.以上给出了柯西不等式的四种证法.利用四种不同的方法全面论证柯西不等式，能加深我们对柯西不等式的认识和理解，为其在数学解题方面的讨论提供了更完备的参考理论.3 柯西不等式的推广命题 1 若级数与收敛，则有不等式.证明 由 ∑i=1nai2，∑i=1nbi2收敛 ，可得 因为∑i−1nai2收敛，且 ，从而...
