椭圆经典解题思路

精品文档---下载后可任意编辑例 1 已知椭圆mx2+3 y2−6m=0的一个焦点为（0，2）求的值．分析：把椭圆的方程化为标准方程，由c=2 ，根据关系a2=b2+c2 可求出的值．解：方程变形为x26 + y22m=1．因为焦点在轴上，所以2m>6 ，解得m>3 ．又c=2 ，所以2m−6=22，m=5 适合．故m=5 ．例 2 已知椭圆的中心在原点，且经过点P (3，0)，a=3b ，求椭圆的标准方程．分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，求出参数和（或和）的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在轴上时，设其方程为x2a2 + y2b2 =1 (a>b>0 )．由椭圆过点P (3，0)，知9a2 + 0b2 =1．又a=3b，代入得b2=1 ，a2=9，故椭圆的方程为x29 + y2=1．当焦点在轴上时，设其方程为y2a2 + x2b2=1 (a>b>0 )．由椭圆过点P (3，0)，知9a2 + 0b2 =1．又a=3b，联立解得a2=81，b2=9，故椭圆的方程为y281 + x29 =1．例 3Δ ABC 的底边BC=16 ，AC 和AB 两边上中线长之和为 30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹．分析：（1）由已知可得|GC|+|GB|=20 ，再利用椭圆定义求解．（2）由的轨迹方程、坐标的关系，利用代入法求的轨迹方程．解： （1）以BC 所在的直线为轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设点坐标为(x， y )，由|GC|+|GB|=20 ，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因a=10，c=8，有b=6 ，故其方程为x2100 + y236 =1 ( y≠0)．（2）设A (x， y)，G (x'， y')，则x¿100 + y¿36 =1( y'≠0)． ①由题意有{x'=x3，¿¿¿¿代入①，得的轨迹方程为x2900 + y2324 =1 ( y≠0)，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）．例 4 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为4 √53和2√53，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．解：设两焦点为、，且|PF1|=4√53，|PF2|=2√53．从椭圆定义知2a=|PF1|+|PF2|=2√5．即a=√5．从|PF1|>|PF2|知|PF2|垂直焦点所在的对称轴，所以在Rt ΔPF2F1中，sin∠PF1 F2=|PF2||PF1|=12 ，可求出∠PF1 F2= π6 ，2c=|PF1|⋅cos π6 =2√5√3 ，从而b2=a2−c2=103 ．∴所求椭圆方程为x25 + 3 y210 =1或3x210 + y25 =1．例 5 已知椭圆方程x2a2 + y2b2 =1 (a>b>0 )，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，∠ A1 PA2=θ，∠F1 PF2=α ．求：ΔF1 PF2的面积（用、、表示）．分析：求...