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抛物线的几个常见结论及其应用VIP免费

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抛物线的几个常见结论及其应用抛物线中有一些常见、常用的结论,了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题,在做解答题时也可迅速打开思路。结论一:若AB是抛物线的焦点弦(过焦点的弦),且,,则:,。证明:因为焦点坐标为F(,0),当AB不垂直于x轴时,可设直线AB的方程为:,由得:∴,。当AB⊥x轴时,直线AB方程为,则,,∴,同上也有:。例:已知直线AB是过抛物线焦点F,求证:为定值。证明:设,,由抛物线的定义知:,,又+=,所以+=-p,且由结论一知:。则:=(常数)结论二:(1)若AB是抛物线的焦点弦,且直线AB的倾斜角为α,则(α≠0)。(2)焦点弦中通径(过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦)最短。证明:(1)设,,设直线AB:由得:,∴,,∴。易验证,结论对斜率不存在时也成立。(2)由(1):AB为通径时,,的值最大,最小。例:已知过抛物线的焦点的弦AB长为12,则直线AB倾斜角为。解:由结论二,12=(其中α为直线AB的倾斜角),则,所以直线AB倾斜角为或。结论三:两个相切:(1)以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。(2)过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线,以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。已知AB是抛物线的过焦点F的弦,求证:(1)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。(2)分别过A、B做准线的垂线,垂足为M、N,求证:以MN为直径的圆与直线AB相切。证明:(1)设AB的中点为Q,过A、Q、B向准线l作垂线,垂足分别为M、P、N,连结AP、BP。由抛物线定义:,,∴,∴以AB为直径为圆与准线l相切(2)作图如(1),取MN中点P,连结PF、MF、NF,∵,AM∥OF,∴∠AMF=∠AFM,∠AMF=∠MFO,∴∠AFM=∠MFO。同理,∠BFN=∠NFO,∴∠MFN=(∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO)=90°,∴,∴∠PFM=∠FMP∴∠AFP=∠AFM+∠PFM=∠FMA+∠FMP=∠PMA=90°,∴FP⊥AB∴以MN为直径为圆与焦点弦AB相切。结论四:若抛物线方程为,过(,0)的直线与之交于A、B两点,则OA⊥OB。反之也成立。证明:设直线AB方程为:,由得,△>0,,∵AO⊥BO,∴⊥∴将,代入得,。∴直线AB恒过定点(0,1)。∴当且仅当k=0时,取最小值1。结论五:对于抛物线,其参数方程为设抛物线上动点坐标为,为抛物线的顶点,显然,即的几何意义为过抛物线顶点的动弦的斜率.例直线与抛物线相交于原点和点,为抛物线上一点,和垂直,且线段长为,求的值.BAMNQPyxOFOAMNPyxFB解析:设点分别为,则,.的坐标分别为...练习:1.过抛物线的焦点作一直线交抛物线于两点,若线段与的长分别是,则=【解析:化为标准方程,得,从而.取特殊情况,过焦点的弦垂直于对称轴,则为通径,即,从而,故】2.设抛物线的焦点为,经过点的直线交抛物线于两点.点在抛物线的准线上,且轴.证明直线经过原点.【证明:抛物线焦点为.设直线的方程为,代入抛物线方程,得.若设,则.轴,且点在准线;又由,得,故,即直线经过原点.】3.已知抛物线的焦点是,准线方程是,求抛物线的方程以及顶点坐标和对称轴方程.【解:设是抛物线上的任意一点,由抛物线的定义得.整理,得,此即为所求抛物线的方程.抛物线的对称轴应是过焦点且与准线垂直的直线,因此有对称轴方程.设对称轴与准线的交点为,可求得,于是线段的中点就是抛物线的顶点,坐标是】备选1.抛物线的顶点坐标是,准线的方程是,试求该抛物线的焦点坐标和方程.解:依题意,抛物线的对称轴方程为.设对称轴和准线的交点是,可以求得.设焦点为,则的中点是,故得焦点坐标为.再设是抛物线上的任一点,根据抛物线的定义得,化简整理得,即为所求抛物线的方程.例2已知为抛物线上两点,且,求线段中点的轨迹方程.解析:设,,据的几何意义,可得.设线段中点,则消去参数得点的轨迹方程为.

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