四面体外接球的球心、半径求法

四面体外接球的球心、半径求法 在立体几何中，几何体外接球是一个常考的知识点，对于学生来说这是一个难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形的情况下无从下手，不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。 本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。 第一节 原理部分 一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。 【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为cba,,，则体对角线长为222cbal，几何体的外接球直径R2为体对角线长l 即2222cbaR 【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61 ，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。 解： 因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长 所以：四面体外接球的直径为 AE 的长 即：22224ADACABR 1 663142222R 所以2R 球的表面积为1 642 RS 二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。 【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。 ACDBE【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BCAB 且7PA，5PB， 5 1PC，1 0AC,求球O的体积。 解：BCAB 且7PA，5PB， 5 1PC，1 0AC, 因为2221 05 17 所以知222PCPAAC 所以 PCPA  所以可得图形为： 在ABCRt中斜边为AC 在PACRt中斜边为AC 取斜边的中点O， 在ABCRt中OCOBOA 在PACRt中OCOBOP 所以在几何体中OAOCOBOP，即O为该四面体的外接球的球心 521ACR 所以该外接球的体积为35 0 0343RV 【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。 三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解 【例题】：已知在三棱锥BCDA中， ABCAD面，1 2 0BAC，2ACADAB，求该棱锥的外接球半径。 解：由已知建立空间直角坐标系 )000(，，A )002(，，B )200(，，D 由平面知识得 )031(，，C OABCPABCDzxy设球心坐标为 ),,(zyxO 则DOCOBOAO,由空间两点间距离公式知222222)2(zyxzyx 222222)2( zyxzyx 222222)3()1(zyxzyx 解得 1331zyx 所以半径为3211331222）（R 【结论】：空间两点间距离公式：221221221)()()(zzyyxxPQ 四、四面体是正四面体 外接球与内切球的圆心为正四...