一、填空题（每小题3分，共15分）1.复数的辐角主值.2.将平面上的圆周映射成平面上的曲线为.3.设函数的泰勒展开式为，那么幂级数的收敛半径.4.已知是解析函数，则1，—1，1.5.函数的Fourier变换为.二、选择题（每小题3分，共15分）1.下列命题中正确的是（D）.(A)设为实数，则.(B)若是函数的奇点，则在点不可导.(C)若在区域内满足柯西-黎曼方程，则在内解析.(D)解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.2.设，则（D）.(A)(B)(C)(D)3.下列命题正确的是（D）.（A）幂级数在其收敛圆周上处处收敛.（B）幂级数的和函数在其收敛圆周内可能存在奇点.（C）设在点处可导，则在点的某个邻域内可以展开成幂级数.（D）任何解析函数展开为幂级数的结果为泰勒级数，则结果是唯一的.4.若幂级数在处收敛，那么该级数在处的敛散性为（A）.（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）不能确定5.为复变函数的（B）级极点.（A）2（B）3（C）4（D）5三、（12分）已知调和函数，求调和函数，使成为解析函数，并且满足条件.解，由C-R方程，得再由C-R方程，，得，故故所以由，得因此.四、（20分）计算下列积分1.，其中是从到的直线段;解，.2.；解.3.，其中取正向;解为的二级极点，为的一级极点，所以.4.，其中取正向；解易知是的本性奇点，在内，有，因此，于是五、（12分）将函数分别在下列圆环域内展开成洛朗级数（1），（2）解（1）（2）由于所以故.六、（10分）求下列各式的值（1），（2）.解（1）（2）七、（6分）求下列函数在其孤立奇点处的留数(1),(2)。解（1）为的可去奇点，故.（2）为本性奇点，.八、（10分）利用Laplace变换求解下列常微分方程,解令方程两边同时取拉氏变换，得即得为的一级极点，为的二级极点，所以方程的解.
