定积分应用题附答案

《定积分的应用》复习题 一．填空： 1．曲线ln,ln,ln(0)yx ya ybaby及轴所围成的平面图形的面积为A = lnlnbyae dy=b-a______ 2. 2yxyx曲线和所围成的平面图形的面积是 ____13 ____ 二．计算题： 1．求由抛物线 y2 = 2x 与直线 2x + y – 2 = 0 所围成的图形的面积。 解：（1）确定积分变量为y，解方程组 2222yxyx  得12121/ 22,12xxyy  即抛物线与直线的交点为（21，1）和( 2 , - 2 ).故所求图形在直线y = 1和y = - 2 之间，即积分区间为［－2，1 ］。 （2）在区间［－2，1］上，任取一小区间为［ y , y + dy ］,对应的窄条面积近似于高为［(１－ 21y）- 21y2 ］,底为dy 的矩形面积，从而得到面积元素 dA = [(１－ 21y)- 21y2 ]dy (3)所求图形面积 A = 12 [（1- 21y）- 21y2 ]dy = [y - 41y2 – 61y 3 ]12 = 94 2．求抛物线 y = - x2 + 4x - 3 及其在点（0，- 3）和（3，0）处的切线所围成的图形的面积。 解：由y = - x2 + 4x – 3 得 '24 ,'(0)4,'(3)2yxyy   。 抛物线在点（0，- 3）处的切线方程为 y = 4x – 3 ;在点（3，0）处的切线方程为 y = - 2x + 6 ; 两切线的交点坐标为 （ 32 ，3 ）。 故 面积A = 332223029[(43)(43)][( 26)(43)]4xxxdxxxxdx 3．求由摆线 x = a (t – sint) , y = a( 1- cost) 的一拱（02t ）与横轴所围成的图形的面积。 解：2200( )(1cos )(1cos )aAy x dxatat dt 22201cos2(12cos)32tatdta 4． 求由下列曲线所围成的图形的公共部分的面积：r = 3 cos 及 r = 1 + cos 解：两曲线的交点由3cos33,1cos3322rrrr  解得 及 故 A = 223203112(1cos )(3cos )22dd = 32031cos 295(12cos)(1cos 2 )224dd 5．计算由摆线 x = a (t – sint ) , y = a ( 1- cost) 的一拱（02t ），直线y = 0 所围成的图形分别绕X 轴、Y 轴旋转而成的旋转体的体积。 解： 2222200( )(1cos )(1cos )axVyx dxatat dt...