实变函数积分理论部分复习题(附答案版)

2 0 1 1 级实变函数积分理论复习题 一、判断题（判断正误，正确的请简要说明理由，错误的请举出反例） 1、设( )nfx是[0,1] 上的一列非负可测函数，则1( )( )nnf xfx 是[0,1] 上的Lebesgue可积函数。（×） 2、设( )nfx是[0,1] 上的一列非负可测函数，则1( )( )nnf xfx 是[0,1] 上的Lebesgue可测函数。（√） 3、设( )nfx是[0,1] 上的一列非负可测函数，则[0,1][0,1]lim( )dlim( )dnnnnfxxfxx。 （×） 4、设( )nfx是[0,1] 上的一列非负可测函数，则存在( )nfx的一个子列( )knfx，使得，[0,1][0,1]lim( )dlim( )dkknnkkfxxfxx。 （×，比如( )nfx为单调递增时，由Levi定理，这样的子列一定不存在。） 5、设( )nfx是[0,1] 上的一列非负可测函数，则存在( )nfx的一个子列( )knfx，使得，[0,1][0,1]lim( )dlim( )dkknnkkfxxfxx。 （×，比如课本上法都引理取严格不等号的例子。） 6、设( )nfx是[0,1] 上的一列非负可测函数，则[0,1][0,1]lim( )dlim( )dnnnnfxxfxx。 （√） 7、设( )nfx是[0,1] 上的一列非负可测函数，则[0,1][0,1]lim( )dlim( )dnnnnfxxfxx。 （×） 8、设( )f x 是[0,1] 上的黎曼可积函数，则( )f x 必为[0,1] 上的可测函数。 （√，Lebesgue积分与正常黎曼积分的关系） 9、设( )f x 是[0,) 的上黎曼反常积分存在，则( )f x 必为[0,) 上的可测函数。 （√，注意到黎曼反常积分的定义的前提条件，对任意自然数0n >，( )f x 在[0, ]n 上黎曼可积，从而( )f x 是[0, ]n 上的可测函数，进而( )f x 是1[0,)[0, ]nn 上的可测函数） 10、设( )nfx是[0,1] 上的一列单调递增非负可测函数，()[0,1],nGf表示( )nfx 在[0,1] 上的下方图形，( )lim( )nnf xfx=，则()[0,1],nGf单调递增，且 ()()()1lim[0,1],[0,1],[0,1],nnnnGfGfGf¥===U，()()[0,1],lim[0,1],nnmGfmGf=。 （√，用集合关系的定义，单调递增可测集列的极限性可以证明。） 二、叙述题（请完整地叙述以下定理或命题） （自己在书上找答案，务必要跟书上一模一样） 1、单调收敛定理（即 Levi 定理） 2、Fatou 引理（法都引理） 3、非负可测函数的Fubini 定理和 Lebesgue 可积函数的Fubini 定理...