实变函数论课后答案第三版

1 1. 证明：BAAB的充要条件是AB. 证明：若BAAB，则ABAAB，故AB成立. 反之，若AB，则BAABABB，又xB ，若xA ，则 xBAA，若xA ，则xBABAA.总有xBAA.故 BBAA，从而有BAAB。 证毕 2. 证明cABAB. 证明：xAB ，从而,xA xB ，故,cxA xB，从而xAB ， 所以cABAB. 另一方面，cxAB ，必有,cxA xB，故,xA xB ，从而xAB， 所以 cABAB. 综合上两个包含式得cABAB. 证毕 3. 证明定理 4 中的（3）（4），定理 6（De Morgan 公式）中的第二式和定理 9. 证明：定理 4 中的（3）：若AB（  ），则AB. 证：若xA，则对任意的  ，有xA，所以AB（   ）成立 知 xAB，故xB，这说明AB. 定理 4 中的（4）：()()()ABAB. 证：若()xAB，则有'  ，使 ''()()()xABAB. 反过来，若()()xAB则xA或者 xB. 不妨设 xA，则有'  使'''()xAABAB. 故()()()ABAB. 2 综上所述有()()()ABAB. 定理6 中第二式()ccAA. 证：()cxA ，则xA，故存在'  ，'xA所以'ccxAA 从而有()ccAA. 反过来，若cxA，则' 使'cxA，故'xA， xA ，从而()cxA ()ccAA. 证毕 定理9：若集合序列12,,,,nA AA单调上升，即1nnAA（相应地1nnAA）对一切n 都成立，则 1limnnnA（相应地）1limnnnA. 证明：若1nnAA对nN 成立，则imi mAA.故从定理8 知 11liminfnimnmi mmAAA 另一方面,m n，令mii mSA，从1mmAA对mN成立知 11111()()mimimiimi mi mi mi mSAAAAAAS.故定理8 表明 1111limsupliminfnimmnnnmi mmmAASSAA 故1limlimsup...