导数与函数的零点问题考点与题型归纳

导数与函数的零点问题考点与题型归纳 考点一 判断函数零点的个数 [典例] 设函数f(x)＝ln x＋mx，m∈R.讨论函数g(x)＝f′(x)－x3零点的个数． [解] 由 题 设 ， g(x)＝ f′(x)－ x3＝ 1x－ mx2－ x3(x＞ 0)， 令 g(x)＝ 0， 得 m＝ － 13x3＋ x(x＞ 0)． 设 φ(x)＝ － 13x3＋ x(x＞ 0)， 则 φ′(x)＝ － x2＋ 1＝ － (x－ 1)(x＋ 1)， 当 x∈(0,1)时， φ′(x)＞ 0， φ(x)在(0,1)上单调递增； 当 x∈(1， ＋ ∞)时， φ′(x)＜0， φ(x)在(1， ＋ ∞)上单调递减． 所以 x＝ 1 是 φ(x)的极大值点， 也是 φ(x)的最大值点． 所以 φ(x)的最大值为 φ(1)＝ 23. 由 φ(0)＝ 0， 结合 y＝ φ(x)的图象(如图)， 可知①当 m＞ 23时， 函数 g(x)无零点； ②当 m＝ 23时， 函数 g(x)有且只有一个零点； ③当 0＜m＜23时， 函数 g(x)有两个零点； ④当 m≤0 时， 函数 g(x)有且只有一个零点． 综上所述， 当 m＞ 23时， 函数 g(x)无零点； 当 m＝ 23或 m≤0 时， 函数 g(x)有且只有一个零点； 当 0＜m＜23时， 函数 g(x)有两个零点． [题组训练] 1．已知函数f(x )＝3ln x －12x 2＋2x －3ln 3－32，求方程f(x )＝0 的解的个数． 解：因 为 f(x )＝ 3ln x － 12x 2＋ 2x － 3ln 3－ 32(x ＞ 0)， 所 以 f′(x )＝ 3x － x ＋ 2＝－ x 2＋ 2x ＋ 3x＝－ x － 3x ＋ 1x， 当 x ∈(0,3)时 ， f′(x )＞ 0， f(x )单 调 递 增 ； 当 x ∈(3， ＋ ∞)时 ， f′(x )＜ 0， f(x )单 调 递 减 ， 所 以 f(x )max＝ f(3)＝ 3ln 3－ 92＋ 6－ 3ln 3－ 32＝ 0， 因 为 当 x →0 时 ， f(x )→－ ∞； 当 x →＋ ∞时 ， f(x )→－ ∞， 所 以 方 程 f(x )＝ 0 只 有 一个 解 ． 2．设 f(x )＝x －1x －2ln x . (1)求证：当 x ≥1 时，f(x )≥0 恒成立； (2)讨论关于 x 的方程x －1x －f(x )＝x 3－2ex 2＋tx 根的个数． 解：(1)证 明 ： f(x )＝ x － 1x － 2ln x 的 定 义 域 为 (0， ＋ ∞)． f′(x )＝ 1＋ 1x 2－ 2x ＝ x 2－ 2x ＋ 1x 2＝ x － 12x 2≥0， ∴f(x )在 [1， ＋ ∞)上 是 单 调 增 函 数 ， ∴f(x )≥f(1)＝ 1－ 1...