导数压轴题双变量问题方法归纳总结教师版

导数应用之双变量问题 （一）构造齐次式，换元 【例】（2020 年河南高三期末）已知函数  2lnf xxaxbx，曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为2yx. （1）求实数 ,a b 的值； （2）设   21212,,0F xf xxmx mRxxxx分别是函数  F x 的两个零点，求证： 120Fx x. 【解析】（1）1,1ab  ； （2） 2lnf xxxx，  1lnF xm xx， 11Fxmx ， 因为12,xx 分别是函数  F x 的两个零点，所以11221ln1lnm xxm xx， 两式相减，得1212lnln1xxmxx ， 1212121212lnln111xxFx xmxxx xx x ，要证明 120Fx x，只需证121212lnln1xxxxx x. 思路一：因为120xx，只需证1211122212121lnlnln0xxxxxxxxx xxx . 令120,1xtx，即证12ln0ttt . 令  12ln01h ttttt  ，则  22212110th tttt   ， 所以函数  h t 在0,1 上单调递减，  10h th，即证12ln0ttt .由上述分析可知 120Fx x. 【规律总结】这是极值点偏移问题，此类问题往往利用换元把12,xx 转化为 t 的函数，常把12,xx 的关系变形为齐次式，设12111222,ln,,xxxxtttxxtexx等，构造函数来解决，可称之为构造比较函数法. 思路二：因为120xx，只需证121212lnln0xxxxx x， 设  2222lnln0xxQ xxxxxx x，则  22222222222221120222xx xxxxxx xxxxxxQxxx xxx xxx xxx xx ， 所以函数  Q x 在20, x上单调递减，  20Q xQ x，即证222lnlnxxxxx x. 由上述分析可知 120Fx x. 【规律总结】极值点偏移问题中，由于两个变量的地位相同，将待证不等式进行变形，可以构造关于1x （或2x ）的一元函数来处理．应用导数研究其单调性，并借助于单调性，达到待证不等式的证明．此乃主元法. 思路三：要证明 120Fx x，只需证121212lnln1xxxxx x. 即证121212lnlnxxx xxx，由对数平均数易得. 【规律总结】极值点偏移问题中，如果等式含有参数，则消参，有指数的则两边...