导数讲义(学生新版)

1 / 8 导数 一、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x0处有增量x ，那么函数y 相应地有增量y =f（x0+ x ）－f（x0），比值xy 叫做函数y=f（x）在x0到x0+ x 之间的平均变化率，即xy =xxfxxf)()(00。如果当0x时，xy 有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处的导数，记作f’（x0）或 y’|0xx 。f’(x 0)=0limxxy =0limxxxfxxf)()(00。 例、 若kxxfxxfx)()(lim000，则xxfxxfx)()2(lim000等于（ ） A ． k2 B．k C．k21 D．以上都不是 变式训练： 设函数)(xf在点0x 处可导，试求下列各极限的值． 1．xxfxxfx)()(lim000； 2．.2)()(lim000hhxfhxfh 3．若2)(0  xf，则kxfkxfk2)()(lim000=？ 二、导数的几何意义 函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义是曲线 y=f（x）在点p（x0 ，f（x0 ））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率是 f’（x0）。 切线方程为 y－y0=f/（x0）（x－x0）。 三、导数的运算 1．基本函数的导数公式: ①0;C （C 为常数） 2 / 8 ② 1;nnxnx   ③(sin )cosxx ; ④(cos )sinxx  ; ⑤();xxee  ⑥()lnxxaaa ; ⑦1ln xx ; ⑧1l glogaaoxex . 习题：求下列函数的导数：（8 分钟独立完成） （1）( )f x （2）4( )f xx （3）( )f xx （4）( )sinf xx （5）( )cosf xx  （6）( )3xf x  （7）( )xf xe （8）2( )logf xx （9）( )lnf xx （10）1( )f xx （11）31 cos44yx （12）1xyx  （13）lgxyxe （14）3 cosyxx 2、导数的四则运算法则： )()(])()([)()(])()([xgxfxgxfxgxfxgxf )()()()()()()()()()()(])()([2 xgxgxfxgxfxgxfxgxfxgxfxgxf 练习：求下列函数的导数： （1）xxy22 ； （2）xxyln； （3）xxysin； （4）xxyln。 （5）xxysin； （6）xxyln2。 3、复合函数求导： 如果函数)(x在点 x 处可导，函数 f (u)在点 u=)(x处可导，则复合函3 / 8 数y= f (u)=f [)(x]在点x 处也可导，并且 ( f [)(x])ˊ= )(x...