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将军饮马的六种模型

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第 1 页 共 10 页 将军饮马的六种常见模型 将军饮马问题——线段和最短 一.六大模型 1.如图,直线 l和 l的异侧两点 A、B,在直线 l上求作一点 P,使 PA+PB 最小。 2.如图,直线 l和 l的同侧两点 A、B,在直线 l上求作一点 P,使 PA+PB 最小。 3.如图,点 P 是∠MON 内的一点,分别在 OM,ON 上作点 A,B。使△PAB 的周长最小 4.如图,点 P,Q 为∠MON 内的两点,分别在 OM,ON 上作点 A,B。使四边形 PAQB 的 周长最小。 5.如图,点 A 是∠MON 外的一点,在射线 ON 上作点 P,使 PA 与点 P 到射线 OM 的距离之和最小 第 2 页 共 10 页 6 . .如图,点A 是∠MON 内的一点,在射线ON 上作点P,使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小 二、常见题目 Part1、三角形 1 .如图,在等边△ABC 中,AB = 6 ,AD⊥BC,E 是AC 上的一点,M 是AD 上的一点,AE=2 ,求EM+EC 的最小值 解: 点C 关于直线AD 的对称点是点B, ∴连接BE,交AD 于点M,则ME+MD 最小, 过点B 作BH⊥AC 于点H, 则EH = AH – AE = 3 – 2 = 1 , BH =22BCCH=2263=33 在直角△BHE 中,BE =22BHEH =22(33 )1= 27 2 .如图,在锐角△ABC 中,AB =42 ,∠BAC=4 5 °,∠BAC 的平分线交BC 于点D,M、N 分别是AD 和AB 上的动点, 则BM+MN 的最小值是____. 解:作点B 关于AD 的对称点B',过点B'作B'E⊥AB 于点E,交AD 于点F,则线段 B'E 长就是BM+MN的最小值在等腰 Rt△AEB'中,根据勾股定理得到,B'E = 4 第 3 页 共 10 页 3.如图,△ABC 中,AB=2,∠BAC=30°,若在 AC、AB 上各取一点 M、N,使 BM+MN 的值最小,则这个最小值 解:作 AB 关于 AC 的对称线段 AB',过点 B'作 B'N⊥AB,垂足为 N,交 AC 于点 M, 则 B'N = MB'+MN = MB+MN. B'N 的长就是 MB+MN 的最小值,则∠B'AN = 2∠BAC= 60°,AB' = AB = 2, ∠ANB'= 90°,∠B' = 30°。 ∴AN = 1 ,在直角△AB'N 中,根据勾股定理 B'N =3 Part2、正方形 1.如图,正方形 ABCD 的边长为 8,M 在 DC 上,且 DM=2,N 是 AC 上的一动点,DN+MN 的最小值为_________。 即在直线 AC 上求一点 N,使 DN+MN 最小 。 解:故作点 D 关于 AC 的对称点 B,连接 BM,交 AC 于点 N。则 DN+MN=BN...

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