将军饮马的六种模型

第 1 页 共 10 页 将军饮马的六种常见模型 将军饮马问题——线段和最短 一．六大模型 1.如图，直线 l和 l的异侧两点 A、B，在直线 l上求作一点 P，使 PA+PB 最小。 2.如图，直线 l和 l的同侧两点 A、B，在直线 l上求作一点 P，使 PA+PB 最小。 3.如图，点 P 是∠MON 内的一点，分别在 OM，ON 上作点 A，B。使△PAB 的周长最小 4.如图，点 P，Q 为∠MON 内的两点，分别在 OM，ON 上作点 A，B。使四边形 PAQB 的 周长最小。 5.如图，点 A 是∠MON 外的一点，在射线 ON 上作点 P，使 PA 与点 P 到射线 OM 的距离之和最小 第 2 页 共 10 页 6 . .如图，点A 是∠MON 内的一点，在射线ON 上作点P，使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小 二、常见题目 Part1、三角形 1 ．如图，在等边△ABC 中，AB = 6 ，AD⊥BC，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，AE=2 ，求EM+EC 的最小值 解： 点C 关于直线AD 的对称点是点B， ∴连接BE，交AD 于点M，则ME+MD 最小， 过点B 作BH⊥AC 于点H， 则EH = AH – AE = 3 – 2 = 1 ， BH =22BCCH=2263=33 在直角△BHE 中，BE =22BHEH =22(33 )1= 27 2 ．如图，在锐角△ABC 中，AB =42 ，∠BAC＝4 5 °，∠BAC 的平分线交BC 于点D，M、N 分别是AD 和AB 上的动点， 则BM+MN 的最小值是____． 解：作点B 关于AD 的对称点B'，过点B'作B'E⊥AB 于点E，交AD 于点F，则线段 B'E 长就是BM＋ＭＮ的最小值在等腰 Rt△AEB'中，根据勾股定理得到，B'E = 4 第 3 页 共 10 页 3．如图，△ABC 中，AB=2，∠BAC=30°，若在 AC、AB 上各取一点 M、N，使 BM+MN 的值最小，则这个最小值 解：作 AB 关于 AC 的对称线段 AB'，过点 B'作 B'N⊥AB，垂足为 N，交 AC 于点 M， 则 B'N = MB'+MN = MB+MN. B'N 的长就是 MB+MN 的最小值，则∠B'AN = 2∠BAC= 60°，AB' = AB = 2， ∠ANB'= 90°，∠B' = 30°。 ∴AN = 1 ，在直角△AB'N 中，根据勾股定理 B'N =3 Part2、正方形 1．如图，正方形 ABCD 的边长为 8，M 在 DC 上，且 DM＝2，N 是 AC 上的一动点，DN＋MN 的最小值为_________。 即在直线 AC 上求一点 N，使 DN+MN 最小 。 解：故作点 D 关于 AC 的对称点 B，连接 BM，交 AC 于点 N。则 DN＋MN＝BN...