必要性探路法

1 §1.3 必要性探路法 所谓必要性探路法，就是指对一类函数的恒成立问题，可以通过取函数定义域内的某个特殊的值或某几个特殊的值，先得到一个必要条件，初步获得参数的范围，再在该范围内讨论，或去验证其充条件，进而解决问题的方法.虽然这种必要性探路的方法求出的参数并不一定就是所求的实际范围，但可以限定问题成立的大前提，缩小参数的讨论范围，在一定程度可以减少分类讨论的类别，降低了思维成本. 一、小试牛刀 我们先来探究一道简单的问题： 【题目 1】已知1 ln (1)( )xf xx（0x ）.若当0x 时， ( )1kf xx恒成立，求正整数 k 的最大值. 【解析】（方法一）分离常数 当0x 时，( )1kf xx恒成立，即 (1)[1 ln (1)]xxkx对任意(0,)x 恒成立.令(1)[1 ln (1)]( )xxh xx（0x ），求导，得21 ln (1)( )xxh xx . 记 ( )1 ln (1)g xxx （0x ），求( )01xg xx.所以( )g x 单调递增. 又因为 (2)1 ln 30g ， (3)2ln 20g，所以 ( )g x 在(2,3) 内有唯一的零点0x ，且00ln (1)1.xx 当0xx时， ( )0g x ， ( )0h x，所以 ( )h x 单调递增；当00xx时， ( )0g x ，( )0h x， 所 以( )h x单 调 递 减 . 所 以( )h x的 最 小 值 为00000(1)[1 ln (1)]()1(3,4)xxh xxx . 从而 k 的最大值为3. （方法二）必要性探路 因为0x 时， ( )1kf xx恒成立，故(1)2kf，所以2(1ln 2)k ，所以正整数k的最大值不会超过3 . 下证当3k 时，( )1kf xx（0x ）恒成立. 即证当0x 时，(1)ln (1) 120xxx 恒成立. 令 ( )(1)ln (1) 1 2xxxx ，( )ln (1) 1xx ，令( )0x，解得e 1.x  2 当e 1x  时，( )0x，( )x单调递增； 当0e 1x 时，( )0x，( )x单调递减. 所以( )x的最小值为(e 1)3e0. 所以0x 时，(1)ln (1) 120xxx 恒成立. 因此，正整数k 的最大值为3. 方 法 一 采 用 了 分 离 参 数 法 ， 转 化 为 求 函 数 的 最 小 值 ， 但 遇 到 导 函 数 的 零 点 难 以 求 出 ， 进而 转 化 为 研 究 函 数 的 单 调 ...