第八讲多元函数的极值及其求法授课题目：§8.8 多元函数的极值及其求法教学目的与要求：了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。教学重点与难点：重点与难点：方向导数的概念及方向导数的计算讲授内容：一、多元函数的极值及其求法回顾一元函数的极值及最大值、最小值定义设函数 z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有定义，如果对于该邻域内任何异于(x0,y0)的点(x,y),都有f(xy)f(x0,y0)),则称函数在点(x0,y0)有极大值(或极小值 fx0,y0).极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.例 1 函数 z=f(x,y)=(x-1)2+(y-2)2-1 在点(1,2)处有极小值-1•因为当(x-1)2+(y-2)2丰 0 时z=f(x,y)=(x-1)2+(y-2)2-1>-1 二 f(1,2)当(x,y)=(0,0)时,z=0,而当(x,y)H(0,0)时,z>0.因此 z=0 是函数的极小值.例 2 函数 z=f(x,y)=2-sin(x2+y2)在点(0,0)处有极大值 1/2,因兀为我们对于在(0,0)的去心领域 00,所以z=f(x,y)=2—sin(x2+y2)<1=f(0,0)以上关于二元函数的极值概念，可推广到 n 元函数.设 n 元函数u=f(P)在点 P0的某一邻域内有定义，如果对于该邻域内任何异于 P0的点 P,都有f(P)<(P0)(或 f(P)>fP°)),则称函数 f(P)在点 P0有极大值(或极小值)f(P0).与一元函数一样，关于二元函数极值的判定，我们有定理 1(必要条件)设函数 z=f(x,y)在点(x°,y°)具有偏导数，且在点(x°,y°)处有极值，则有fx(x°，y°)=0,fy(x°，y°)=0-证明不妨设 z=f(x,y)在点(x0,y0)处有极大值.依极大值的定义，对于点(x0,y0)的某邻域内异于(x0,y0)的点(x,y),都有不等式f(x,y)
