抽象函数经典综合题33例(含详细解答)

抽象函数经典综合题33 例（含详细解答） 整理：河南省郸厂城县才源高中 王保社 抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。 本资料精选抽象函数经典综合问题33 例（含详细解答） 1.定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1）求证：f(0)=1； （2）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R上的增函数； （4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。 解 （1）令 a=b=0，则 f(0)=[f(0)]2 f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令 a=x，b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) ∴)(1)(xfxf 由已知 x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴0)(1)(xfxf又x=0时，f(0)=1>0 ∴对任意x∈R，f(x)>0 (3)任取 x2>x1，则 f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0 ∴1)()()()()(121212xxfxfxfxfxf ∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在R上是增函数 （4）f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0)， f(x)在R上递增 ∴由 f(3x-x2)>f(0)得：3x-x2>0 ∴ 0