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抽象函数经典综合题33例(含详细解答)

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抽象函数经典综合题33 例(含详细解答) 整理:河南省郸厂城县才源高中 王保社 抽象函数,是指没有具体地给出解析式,只给出它的一些特征或性质的函数,抽象函数型综合问题,一般通过对函数性质的代数表述,综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力,考查对于函数性质的代数推理和论证能力,考查学生对于一般和特殊关系的认识,是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点,又是近几年来高考的热点。 本资料精选抽象函数经典综合问题33 例(含详细解答) 1.定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a、b∈R,有f(a+b)=f(a)f(b), (1)求证:f(0)=1; (2)求证:对任意的x∈R,恒有f(x)>0; (3)证明:f(x)是R上的增函数; (4)若f(x)·f(2x-x2)>1,求x的取值范围。 解 (1)令 a=b=0,则 f(0)=[f(0)]2 f(0)≠0 ∴f(0)=1 (2)令 a=x,b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) ∴)(1)(xfxf 由已知 x>0时,f(x)>1>0,当x<0时,-x>0,f(-x)>0 ∴0)(1)(xfxf又x=0时,f(0)=1>0 ∴对任意x∈R,f(x)>0 (3)任取 x2>x1,则 f(x2)>0,f(x1)>0,x2-x1>0 ∴1)()()()()(121212xxfxfxfxfxf ∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在R上是增函数 (4)f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0), f(x)在R上递增 ∴由 f(3x-x2)>f(0)得:3x-x2>0 ∴ 0

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