精品文档---下载后可任意编辑点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用广西南宁外国语学校 隆光诚（邮政编码 530007） 圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系 、中点坐标公式及参数法求解。 若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。定理 在双曲线（＞0，＞0）中，若直线 与双曲线相交于 M、N 两点，点是弦 MN 的中点，弦 MN 所在的直线 的斜率为，则.证明：设 M、N 两点的坐标分别为、，则有，得又同理可证，在双曲线（＞0，＞0）中，若直线 与双曲线相交于 M、N 两点，点是弦 MN 的中点，弦 MN 所在的直线 的斜率为，则.典题妙解例 1 已知双曲线，过点作直线 交双曲线 C 于 A、B 两点.精品文档---下载后可任意编辑（1）求弦 AB 的中点 M 的轨迹；（2）若 P 恰为弦 AB 的中点，求直线 的方程.解：（1）焦点在 y 轴上.设点 M 的坐标为，由得：，整理得：所求的轨迹方程为（2） P 恰为弦 AB 的中点，由得：即直线 的方程为，即例 2 已知双曲线与点（1）斜率为且过点 P 的直线 与 C 有两个公共点，求的取值范围；（2）是否存在过点 P 的弦 AB，使得 AB 的中点为 P？（3）试推断以为中点的弦是否存在.解：（1）直线 的方程为，即由得直线 与 C 有两个公共点，得解之得：＜且的取值范围是（2）双曲线的标准方程为设存在过点 P 的弦 AB，使得 AB 的中点为 P，则由得：由（1）可知，时，直线 与 C 有两个公共点，精品文档---下载后可任意编辑存在这样的弦.这时直线 的方程为（3）设以为中点的弦存在，则由得：由（1）可知，时，直线 与 C 没有两个公共点，设以为中点的弦不存在.例 3 过点作直线 交双曲线于 A、B 两点，已知（O为坐标原点），求点 P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.解：在双曲线中，，焦点在轴上.设弦 AB 的中点为.由平行四边形法则知：，即 Q 是线段 OP 的中点.设点 P 的坐标为，则点 Q 的坐标为.由得：，整理得：配方得：.点 P 的轨...
