精品文档---下载后可任意编辑第二章 静电场1. 一个半径为 R 的电介质球，极化强度为，电容率为。（1）计算束缚电荷的体密度和面密度：（2）计算自由电荷体密度；（3）计算球外和球内的电势；（4）求该带电介质球产生的静电场总能量。解：（1）（2）（3）（4）2. 在均匀外电场中置入半径为的导体球，试用分离变量法求下列两种情况的电势：（1）导体球上接有电池，使球与地保持电势差；（2）导体球上带总电荷解：（1）该问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外电场方向的轴线，取该轴线为极轴，球心为原点建立球坐标系。当时，电势满足拉普拉斯方程，通解为因为无穷远处 ，所以 ，，当 时，所以 即： 所以 精品文档---下载后可任意编辑（2）设球体待定电势为，同理可得当 时，由题意，金属球带电量所以 3. 均匀介质球的中心置一点电荷，球的电容率为，球外为真空，试用分离变量法求空间电势，把结果与使用高斯定理所得结果比较。提示：空间各点的电势是点电荷的电势与球面上的极化电荷所产生的电势的迭加，后者满足拉普拉斯方程。解：（一）分离变量法空间各点的电势是点电荷的电势与球面上的极化电荷所产生的电势的迭加。设极化电荷产生的电势为，它满足拉普拉斯方程。在球坐标系中解的形式为：当时，，。当时，为有限，。所以 ， 由于球对称性，电势只与 R 有关，所以 ， 所以空间各点电势可写成当时，由 得： 由 得：，精品文档---下载后可任意编辑则 所以 （二）应用高斯定理在球外，R>R0 ，由高斯定理得：，（整个导体球的束缚电荷），所以 ，积分后得： 在球内，R
