第5 章 复习与思考题 1、用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？ 答：使用高斯消去法时，在消元过程中可能出现0kkka 的情况，这时消去法无法进行；即时主元素0kkka，但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散，最后也使得计算不准确。因此高斯消去法需要选主元，以保证计算的进行和计算的准确性。 当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，可以不用选择主元。计算时一般选择列主元消去法。 2、高斯消去法与LU 分解有什么关系？用它们解线性方程组 Ax = b 有何不同？A 要满足什么条件？ 答：高斯消去法实质上产生了一个将 A 分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，其中一个为上三角矩阵 U，一个为下三角矩阵 L。 用 LU 分解解线性方程组可以简化计算，减少计算量，提高计算精度。 A 需要满足的条件是，顺序主子式（1,2，… ，n-1）不为零。 3、楚列斯基分解与LU 分解相比，有什么优点？ 楚列斯基分解是 LU 分解的一种，当限定下三角矩阵 L 的对角元素为正时，楚列斯基分解具有唯一解。 4、哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？ 具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。 平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长，切对角元素恒为正数，因此，是一个稳定的算法。 5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？ 对角占优的三对角方程组 6、何谓向量范数？给出三种常用的向量范数。 向量范数定义见 p53，符合 3 个运算法则。 正定性 齐次性 三角不等式 设 x 为向量，则三种常用的向量范数为：（第3 章p53,第5 章p165） 11|| ||||niixx 12221|| ||()niixx 1|| ||max ||ii nxx 7、何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给出矩阵 A = (ai j )的三种范数|| A||1，|| A||2，|| A||∞，|| A||1 与|| A||2 哪个更容易计算？为什么？ 向量范数定义见 p162，需要满足四个条件。 正定条件 齐次条件 三角不等式 相容条件 矩阵的算子范数有 1||A || 2|| ||A ||A || 从定义可知，1||A ||更容易计算。 8、什么是矩阵的条件数？如何判断线性方程组是病态的？ 答：设 A 为非奇异阵，称数1(A)AAvvvcond （1,2,v ）为矩阵 A 的条件数 当(A)1cond时，方程是病态的。 9、满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异？ （1...
