极限的求法 1 极限的求法 1. 直接代入法 适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为 例 1. 求 . 分析 由于 , 所以采用直接代入法. 解 原式= 2.利用极限的四则运算法则来求极限 为叙述方便,我们把自变量的某个变化过程略去不写,用记号)(limxf表示)( xf在某个极限过程中的极限,因此极限的四则运算法则可确切地叙述如下: 定理 在同一变化过程中,设)(lim),(limxgxf都存在,则 (1))]()(lim [xgxf)(lim)(limxgxf (2))]()(lim [xgxf)(lim)(limxgxf (3)当分母)(limxg0时,有 )(lim)(lim)()(limxgxfxgxf 总的说来,就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。 例2. 求 11lim2xxx。 解 11lim2xxx)1(lim)1(lim22xxxx31 3.无穷小量分出法 适用于分子、分母同时趋于 ,即 型未定式 极限的求法 2 例3 . 分析 所给函数中,分子、分母当 时的极限都不存在,所以不能直接应用法则.注意到当 时,分子、分母同时趋于 ,首先将函数进行初等变形,即分子、分母同除 的最高次幂,可将无穷小量分出来,然后再根据运算法则即可求出极限. 为什么所给函数中,当 时,分子、分母同时趋于 呢?以当 说明:因为 ,但是 趋于 的速度要比 趋于 的速度快,所以 .不要认为 仍是 (因为 有正负之分). 解 原式 (分子、分母同除 ) (运算法则) (当 时, 都趋于 .无穷大的倒数是无穷小.) 4 . 消去零因子法 适用于分子、分母的极限同时为 0 ,即 型未定式 例4 . 分析 所给两个函数中,分子、分母的极限均是 0,不能直接使用法则四,故采用消去零因子法. 解 原式= (因式分解) 极限的求法 3 = (约分消去零因子 ) = (应用法则) = 5. 利用无穷小量的性质 例 5. 求极限 分析 因为 不存在,不能直接使用运算法则, 故必须先将函数进行恒等变形. 解 原式= (恒等变形) 因为 当 时, , 即 是当 时的无穷小,而 ≤1, 即 是有界函数,由无穷小的性质:有界函数乘无穷小仍是无穷小, 得 =0. 6. 利用拆项法技巧 例6:))12)(12(15.313.11(limnnn 分析:由于))12)(12(1nn=)12112(1(21nn 原式=21)1211(21)]121121()5131()311[(21limlimnnnnn 7. 变量替换 例 7 求极限 . 极限的求法 4 分析 当 时,分子、分母都趋于 ,不能直接应...