构造全等三角形证题 在几何解题中，常常需要添加辅助线构造全等三角形，以沟通题设与结论之间的联系。现分类加以说明。 一、延长中线构造全等三角形 例1. 如图1，AD 是△ABC 的中线，求证：AB＋AC＞2AD。 证明：延长AD 至E，使AD＝DE，连接CE。如图2。 AD 是△ABC 的中线，∴BD＝CD。 又 ∠1＝∠2，AD＝DE， ∴△ABD≌△ECD（SAS）。AB＝CE。 在△ACE 中，CE＋AC＞AE， ∴AB＋AC＞2AD。 二、沿角平分线翻折构造全等三角形 例2. 如图3，在△ABC 中，∠1＝∠2，∠ABC＝2∠C。求证：AB＋BD＝AC。 证明：将△ABD 沿 AD 翻折，点 B 落在AC 上的E 点处，即：在AC 上截取 AE＝AB，连接ED。如图4。 ∠1＝∠2，AD＝AD，AB＝AE， ∴△ABD≌△AED（SAS）。 ∴BD＝ED，∠ABC＝∠AED＝2∠C。 而∠AED＝∠C＋∠EDC， ∴∠C＝∠EDC。所以 EC＝ED＝BD。 AC＝AE＋EC，∴AB＋BD＝AC。 三、作平行线构造全等三角形 例 3. 如图 5，△ABC 中，AB＝AC。E 是 AB 上异于 A、B 的任意一点，延长 AC 到 D，使 CD＝BE，连接 DE 交 BC 于 F。求证：EF＝FD。 证明：过 E 作 EM∥AC 交 BC 于 M，如图 6。 则∠EMB＝∠ACB，∠MEF＝∠CDF。 AB＝AC，∴∠B＝∠ACB。 ∴∠B＝∠EMB。故 EM＝BE。 BE＝CD，∴EM＝CD。 又 ∠EFM＝∠DFC，∠MEF＝∠CDF， ∴△EFM≌△DFC（AAS）。EF＝FD。 四、作垂线构造全等三角形 例4. 如图7，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC。M 是 AC 边的中点。AD⊥BM 交 BC 于 D，交 BM 于 E。求证：∠AMB＝∠DMC。 证明：作 CF⊥AC 交 AD 的延长线于 F。如图8。 ∠BAC＝90°，AD⊥BM， ∴∠FAC＝∠ABM＝90°－∠BAE。 AB＝AC，∠BAM＝∠ACF＝90°， ∴△ABM≌△CAF（ASA）。 ∴∠F＝∠AMB，AM＝CF。 AM＝CM，∴CF＝CM。 ∠MCD＝∠FCD＝45°，CD＝CD， ∴△MCD≌△FCD（SAS）。所以∠F＝∠DMC。 ∴∠AMB＝∠F＝∠DMC。 五、沿高线翻折构造全等三角形 例5. 如图9，在△ABC 中，AD⊥BC 于 D，∠BAD＞∠CAD。求证：AB＞AC。 证明：把△ADC 沿高 AD 翻折，点 C 落在线段 DB 上的 E 点处，即：在DB 上截取 DE＝DC，连接 AE。如图10。 ∴△ADC≌△ADE（SAS）。AC＝AE，∠C＝∠AED。 ∠AED＞∠B，∴∠C＞∠B。从而 AB＞AC。 六、绕点旋转构造全等三角形 例6. 如图11，正方形 ABCD 中，∠1＝∠2，Q 在DC 上...
