椭圆、标准方程、常见轨迹求法

学有方-大不同 学大教育 1 PF2F1 椭圆、标准方程、常见轨迹求法 一 、 椭圆定义： 平面内与两个定点21, FF的距离之和等于常数（大于||21FF）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方： （1）两个定点---两点间距离确定 （2）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定 思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（ 线段） 在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（ 圆） 由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫) 二、根据定义推导椭圆标准方程： 取过焦点21, FF的直线为 x 轴，线段21FF的垂直平分线为 y 轴 设),(yxP为椭圆上的任意一 点，椭圆的焦距是 c2 （0c）. 则)0,(),0,(21cFcF，又设 M与21, FF距离之和等于a2 (ca22)（常数） aPFPFPP221 221)(ycxPF又， aycxycx2)()(2222， 化简，得 )()(22222222caayaxca， 由定义ca22,022ca 令222bca代入，得 222222bayaxb， 两边同除22ba得 12222byax 此即为椭圆的标准方程 它所表示的椭圆的焦点在 x 轴上，焦点是)0,()0,(21cFcF，中心在坐标原点的椭圆方程 其PF2F1xOy学有方-大不同 学大教育 2 中222bca 注 意 若 坐 标 系 的 选 取 不 同 ， 可 得 到 椭 圆 的 不 同 的 方 程 如 果 椭 圆 的 焦 点 在y 轴上（ 选 取 方 式 不 同 ， 调 换yx,轴 ） 焦 点 则 变 成),0(),,0(21cFcF,只 要 将方 程12222byax中 的yx,调 换 ， 即 可 得12222bxay，也是椭圆的标准方程 理 解 ： 所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在12222byax与12222bxay这两个标准方程中，都有 0 ba的要求， 讲 解 范 例 ： 例 1 写 出 适 合 下 列 条 件 的 椭 圆 的 标 准 方 程 ： ⑴两个焦 点 坐 标 分别是(-4,0)、（ 4， 0）， 椭 圆 上一点 P到 两焦 点 的 距离之和等于 10； ⑵两个焦 点 坐 标 分别是（ 0， －2） 和（ 0,2） 且过（23,25 ） 解 ：（ 1） 因为椭 圆 的 焦 点 在 x 轴 上， 所以设它的 标 准 方 程 为 12222byax )0( ba 94...