概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第七章习题参考答案

1第七章 假设检验 习题7 .1 1． 设X1 , …, X n 是来自 N (µ , 1) 的样本，考虑如下假设检验问题 H0：µ = 2 vs H1：µ = 3， 若检验由拒绝域为}6.2{ ≥= xW确定． （1）当 n = 20 时求检验犯两类错误的概率； （2）如果要使得检验犯第二类错误的概率β ≤ 0.01，n 最小应取多少？ （3）证明：当 n → ∞ 时，α → 0，β → 0． 解：（1）犯第一类错误的概率为 0037.0)68.2(168.220126.21}2|6.2{}|{0=Φ−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=−≥−==≥=∈=nXPXPHWXPµµα， 犯第二类错误的概率为 0367.0)79.1(79.120136.21}3|6.2{}|{1=−Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−=−<−==<=∉=nXPXPHWXPµµβ； （2）因01.0)4.0(4.0136.21}3|6.2{≤−Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−=−<−==<=nnnnXPXPµµβ， 则99.0)4.0(≥Φn，33.24.0≥n，n ≥ 33.93，故 n 至少为 34； （3）)(0)6.0(16.0126.21}2|6.2{∞→→Φ−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=−≥−==≥=nnnnnXPXPµµα， )(0)4.0(4.0136.21}3|6.2{∞→→−Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−=−<−==<=nnnnnXPXPµµβ． 2． 设X1 , …, X10 是来自 0-1 总体 b (1, p) 的样本，考虑如下检验问题 H0：p = 0.2 vs H1：p = 0.4， 取拒绝域为}5.0{ ≥= xW，求该检验犯两类错误的概率． 解：因 X ~ b (1, p)，有),10(~10101pbXXii =∑=， 则0328.08.02.0}2.0|510{}2.0|5.0{}|{10510100=⋅⋅==≥==≥=∈=∑=−kkkkCpXPpXPHWXPα， 6331.06.04.0}4.0|510{}4.0|5.0{}|{4010101=⋅⋅==<==<=∉=∑=−kkkkCpXPpXPHWXPβ． 3． 设X1 , …, X16 是来自正态总体 N (µ , 4) 的样本，考虑检验问题 H0：µ = 6 vs H1：µ ≠ 6， 拒绝域取为}|6{|cxW≥−=，试求 c 使得检验的显著性水平为 0.05，并求该检验在µ = 6.5 处犯第二类错误的概率． 2解：因05.0)]2(1[22162162}6||6{|}|{0=Φ−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=≥−==≥−=∈=cccXPcXPHWXPµµα， 则Φ (2c) = 0.975，2c = 1.96，故c = 0.98； 故}5.6|48.05.648.1{}5.6|98.0|6{|}|{1=<−<−==<−=∉=µµβXPXPHWXP 83.0)96.2()96.0(96.01625.696.2=−Φ−Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−<−=XP． 4． 设总体为均匀分布U (0, θ )，X1 , …, X n 是样本，考虑检验问题 H0：θ ≥ 3 vs H1：θ < 3， 拒绝域取为}5.2{)(≤=nxW，求检验犯第一类错误的最大值α ，若要使得该最大值α 不超过 0.05，n至少应...