正交矩阵的作用

1 正交矩阵的作用 引言 正交矩阵是一类重要的实方阵，由于它的一些特殊的性质，使得它在不同的领域都有着广泛的作用,也推动了其它学科的发展.本文从正交矩阵的最主要的性质入手，来讨论它的四点作用. 首先，我们来了解一下正交矩阵的定义. 一.正交矩阵的定义及性质 (一)正交矩阵的定义 定义 1 n阶实矩阵A，若满足 A AE，则称 A为正交矩阵. 定义 2 n阶实矩阵A，若满足 AAE ，则称 A为正交矩阵. 定义 3 n阶实矩阵A，若满足1AA  ，则称 A为正交矩阵. 定义 4 n阶实矩阵A的n个行（列）向量是两两正交 的单位向量，则称 A为正交矩阵. 以上四个定义是等价定义. (二)正交矩阵的性质 2 设A为正交矩阵，它有如下的主要性质. <1>∣A∣=±1，A-1存在，并且 A-1也为正交矩阵； <2>A′，A*也是正交矩阵； 当∣A∣=1时，*AA ，即ijijaA； 当∣A∣=-1时,*AA  ,即ijijaA . <3>若 B 也是正交矩阵，则11,,,,AB A B ABAB AB都为正交 矩阵. 证明 <1>显然 1A    1111()()AAA 所以1A  也是正交矩阵. <2>1AA  ，显然 A为正交矩阵. 由 1A   ，*1AAAA  当 1A  时，*AA ，即ijijaA 当 1A   时，*AA  ，即ijijaA  所以*A 为正交矩阵. <3>由1AA   ，1BB   可知 111()()ABB ABAAB  故 A B 为正交矩阵.由<1>,<2>推知11,,,A B ABAB AB均为正交矩阵. 3 正交矩阵的性质主要有以上几点，还有例如它的特征值的模为1，且属于不同特征值的特征向量相互正交；如果 是它的特征值，那么1也是它的特征值等，这些性质这里就不再证明了. 运用这些性质，我们来讨论一下它在以下四方面的一些作用. 二.正交矩阵的作用 （一）正交矩阵在线性代数中的作用 在正交矩阵中，有一类初等旋转矩阵，我们也称它为Givens矩阵.这里，我们将利用正交矩阵可以表示成若干初等旋转矩阵的乘积，给出化欧氏空间的一组基为标准正交基的另一种方法. 设 向量12(,,,)nWwww ，令22 ()ijswwji， ,jiwwcdss，则称 n 阶矩阵 11ijcdiTdcjij  行行列列 4 为初等旋转矩阵. 初等旋转矩阵ijT ，是由向量W 的第,i j 两个元素定义的，与单位...