求数列的通项公式方法总结

数列常见题型总结 - 1 - 题型四：求数列的通项公式 一.公式法：当题中已知数列是等差数列或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比。 二.当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即：na 和an-1 的关系时我们可以根据具体情况采用下列方法 1 、叠加法：一般地，对于型如)(1nfaann类的通项公式，且)()2()1(nfff的和比较好求，我们可以采用此方法来求na 。 即：11221()()()nnnnnaaaaaaa1a(2)n ； 【例1】已知数列 na满足11211,2nnaaann，求数列 na的通项公式。 解：（1）由题知：121111(1)1nnaannn nnn  112211()())nnnnnaaaaa+(a - aa…… 1111111()()()121122nnnn…… 312n 2、叠乘法：一般地对于形如“已知a1，且n1naa =f（n）（f（n）为可求积的数列）”的形式可通过叠乘法求数列的通项公式。即：121121nnnnnaaaaaaaa   (2)n ； 【例2】在数列｛na ｝中，1a =1, (n+1)·1na=n· na ，求na 的表达式。 解：由(n+1)·1na=n· na 得11nnaann， 1aan =12aa·23aa·34aa …1nnaa=nnn11433221 所以nan1 3、构造法：当数列前一项和后一项即na 和an-1 的递推关系较为复杂时，我们往往对原数列的递推关系进行变形，重新构造数列，使其变为我们学过的熟悉的数列（等比数列或等差数列）。具体有以下几种常见方法。 （1 ）、待定系数法： ①、一般地对于an =kan-1 +m(k、m 为常数）型，可化为的形式an +λ=k(an-1 +λ).重新 数列常见题型总结 - 2 - 构造出一个以k 为公比的等比数列，然后通过化简用待定系数法求λ，然后再求na 。 【例 3】设 b>0,数列 na满足 a1=b，11(2)22nnnn baanan. 求数列 na的通项公式； 解：112(1)nnnabanan，得1112(1)121nnnnannnababba， 设nnnba ，则121nnbbbb(2)n ， （ⅰ）当2b 时， nb是以12 为首项，12 为公差的等差数列， 即111(1)222nbnn，∴2na  （ⅱ）当2b 时，设12 ()nnbbb，则122(1)nnbbbb， 令21(1)bb，得12b ，1121()22nnbbbbb(2)n ...