求数列通项公式的常用方法

求数列通项公式的常用方法 一、累加法 1 ．适用于：1( )nnaaf n  ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2．解题步骤：若1( )nnaaf n (2)n ， 则 21321(1)(2) ( )nnaafaafaaf n 两边分别相加得 111( )nnkaaf n  例 1 已知数列{}na满足11211nnaana ，，求数列{}na的通项公式。 解：由121nnaan  得121nnaan  则 112322112()()()()[2(1) 1] [2(2) 1](2 2 1)(2 1 1) 12[(1)(2)2 1](1) 1(1)2(1) 12(1)(1) 1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn   所以数列{}na的通项公式为2nan。 练习. 已知数列}{na满足31 a，)2()1(11nnnaann，求此数列的通项公式. 答案：裂项求和 nan12  评注：已知aa 1,)(1nfaann，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项na . ①若 f(n)是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若 f(n)是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和; ③若 f(n)是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若 f(n)是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。 二、累乘法 1 . 适用于： 1( )nnaf n a  ----------这是广义的等比数列，累乘法是最基本的二个方法之二。 2．解题步骤：若1( )nnaf na ，则31212(1)(2)( )nnaaafff naaa，，， 两边分别相乘得，1111( )nnkaaf ka 例 2 已知数列{}na满足112(1)53nnnanaa ，，求数列{}na的通项公式。 解：因为112(1)53nnnanaa ，，所以0na ，则12(1)5nnnana ，故1321122112211(1) (2)2 1(1)12[2(1 1)5][2(2 1)5][2(2 1) 5 ][2(1 1) 5 ] 32[ (1)3 2] 533 25!nnnnnnnnnnn nnaaaaaaaaaannn nn     所以数列{}na的通项公式为(1)123 25!.n nnnan  练习. 已知1,111annaann,求数列{an}的通项公式 答案：na)1()!1(1 an-1. 评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式,11nnaann转化为 ),1(11nnana若令1nnab,则问题...