求极值的方法与技巧

1 求极值的方法与技巧 极值一般分为无条件极值和条件极值两类。 无条件极值问题即是函数中的自变量只受定义域约束的极值问题； 条件极值问题即是函数中的自变量除受定义域约束外，还受其他条件限制的极值问题。 一、求解无条件极值的常用方法 1．利用二阶偏导数之间的关系和符号判断取不取极值及极值的类型 定理1 (充分条件) 设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数 又fx(x0 y0)0 fy(x0 y0)0 令 fxx(x0 y0)A fxy(x0 y0)B fyy(x0 y0)C 则f (x y)在(x0 y0)处是否取得极值的条件如下： (1) ACB2>0 时具有极值 且当A<0 时有极大值 当A>0 时有极小值； (2) ACB2<0 时没有极值； (3) ACB20 时可能有极值 也可能没有极值。  极值的求法： 第一步 解方程组fx(x y)0 fy(x y)0 求得一切实数解 即可得一切驻点。 第二步 对于每一个驻点(x0 y0) 求出二阶偏导数的值A、B 和C。 第三步 定出ACB2 的符号 按定理1 的结论判定f(x0 y0)是否是极值、是极大值 还是极小值。 应注意的几个问题： ⑴对于二元函数zf(x y),在定义域内求极值这是一个比较适用且常用的方法, 但是这种方法对三元及更多元的函数并不适用； ⑵ACB20 时可能有极值 也可能没有极值，还需另作讨论； ⑶如果函数在个别点处的偏导数不存在，这些点当然不是驻点，但也可能是极值点，讨论函数的极值问题时这些点也应当考虑。 例 1 求函数2222()()xyzxy e的极值。 2 解 令222222()22()2 (1)02 (1)0xyxyzxxyexzyxyey 得驻点(0,0) 及221.xy 又由22222222()2[2(13)4(1)]xyzyxxxyex 22222()4(2)xyzxyxy ex y   22222222()2[2(13)4(1)]xyzxyyxyey 22(0,0)2,zAx 2(0,0)0,zBx y  22( 0 , 0 )2zCy 240,0BACA    故(0,0)0f为极小值。 由于22221214,xyzAx ex  222114,xyzBxyex y   22221214xyzCy ey  20BAC ，此时有通常的方法无法判定。 令22(0)xyt t，则tzte，由 (1)0tdzetdt 得驻点1.t  又21211(2)0tttd ...