杭州师范大学硕士研究生招生考试命题纸2020年考试科目代码831考试科目名称高等代数（本考试科目共2页，第1页）杭州师范大学2020年招收攻读硕士研究生考试题考试科目代码：831考试科目名称：高等代数说明：考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负。每题15分，共150分1.证明：一个非零实二次型可以分解为两个一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是,它的秩为2且符合差为0，或秩为1。2.求正交线性替换将二次型化为标准型。3.已知线性方程组。(1)取何值时，该方程组有解。(2)在有解的情况下，求出该方程组的解。4.求满足的所有阶方阵（这里是的伴随矩阵）。5.求解行列式。6.设为维欧式空间，为的一个正交变换。设为的一个维数小于的-不变子空间，令为的正交补。（1）证明：也是一个-不变子空间。（2）证明：存在的一组标准正交基使得在这组基下的矩阵为形如如下矩阵杭州师范大学硕士研究生招生考试命题纸2020年考试科目代码831考试科目名称高等代数（本考试科目共2页，第2页），其中和都是正交矩阵。7.证明：n阶方阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是：对于A的任一特征值，矩阵和有相同的秩，这里是n阶单位矩阵。8.一个整系数多项式称为是本原多项式，如果它的系数互素。证明：两个本原多项式的乘积是本原多项式。9.设为数域P上全体次数不超过n的多项式构成的向量空间。（1）证明：构成的一组基，其中。（2）求基到基的过渡矩阵；（3）设，证明Taylor公式。10.阶矩阵为幂等矩阵（）的充分必要条件是，这里为的秩，E为n阶单位矩阵。
