直线与圆锥曲线综合问题

直线与圆锥曲线综合问题 一．考点分析。 ⑴直线与圆锥曲线的位置关系和判定 直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离. 直线方程是二元一次方程,圆锥曲线方程是二元二次方程,由它们组成的方程组,经过消元得到一个一元二次方程,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是0 、0 、0 . ⑵直线与圆锥曲线相交所得的弦长 直线具有斜率 k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为1122( ,), ( ,)A x y B x y,则它的弦长 上面的公式实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为1212()yyxxk，运用韦达定理来进行计算. 当直线斜率不存在是,则12AByy. 注: 1.圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算； 2.当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理，二是点差法； 3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数，用求值域的方法求范围,二是建立不等式，通过解不等式求范围. 二．考试探究 圆锥曲线是解析几何的核心内容，也是高考命题的热点之一.高考对圆锥曲线的考查，总体上是以知识应用和问题探究为主，一般是给出曲线方程，讨论曲线的基本元素和简单的几何性质；或给出曲线满足的条件，判断（求）其轨迹；或给出直线与曲线、曲线与曲线的位置关系，讨论与其有关的其他问题（如直线的方程、直线的条数、弦长、曲线中参变量的取值范围等）；或考查圆锥曲线与其他知识综合（如不等式、函数、向量、导数等）的问题等. 1. （2006 年北京卷，文科，19） 椭圆C:22221(0)xyabab的 两 个 焦点 为F1,F2, 点P在 椭圆C上 ， 且11212414,||,||.33PFF FPFPF （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）若直线 l 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心M，交椭圆 C 于A、B 两点，且A、B 关于点 M对称，求直线 l 的方程. 〖解析〗（Ⅰ）由椭圆的定义及勾股定理求出 a,b,c 的值即可，（Ⅱ）可以设出 A、B 点的坐标及直线方程，联立直线方程和椭圆方程后利用一元二次方程根与系数关系即可求出直线方程，也可以利用“点差法”求出直线的斜率，然后利用点斜式求出直线方程. 〖答案〗解法一： (Ⅰ)因为点 P 在椭圆 C 上，所以6221PFPFa，a=3. 在 Rt△PF1F2 中，,52212221PFPFFF故椭圆的半焦距 c= ...